人工智能的高数基础2 导数

标签：方程函数导数人工智能法线斜率求导高数

1.概念

速度角度：

在物理学中，速度是描述物体位置随时间变化快慢的量。假设我们有一个函数 f(t1)表示物体在时间 t1 的位置，f(t2)表示物体在时间 t2的位置，那么在t1到t2时间段内，物体移动的距离为f(t2)-f(t1)，平均速度为：

$v=\dfrac{f(t_{2}-f(t_{1}))}{t_{2}-t_{1}}$

物体在t1的瞬时速度接近于：

$v=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}\dfrac{f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$

也就是说当t2无限接近于t1时的速度。

切线角度

假设我们有一个函数 f(x)，其图像是一条曲线。我们想要了解这条曲线在某一点 x=a 处的变化情况。

首先，考虑曲线上的两个点 (a,f(a)) 和 (b,f(b))，其中 b 是接近 a 的另一个点。连接这两个点的直线称为割线。割线的斜率可以表示为：

割线的斜率 = $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$

接下来，我们让点 b 逐渐接近点 a，即 b→a。在这个过程中，割线的斜率会逐渐接近曲线在点 (a,f(a))处的切线的斜率。

当 b 无限接近 a 时，割线的斜率就变成了曲线在点 (a,f(a))处的切线的斜率:

$f'(a) =\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

1.1 导数定义

1.2 单侧导数

1.2.1 左导数

函数 f(x)在点 x=a 处的左导数定义为：

$f_{-}'(a)=\lim _{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

其中 h→0−表示 h 从负方向趋近于 0。

1.2.3 导数的存在性

2.导数的几何意义

2.1 切线

2.2 法线

是与切线垂直的直线。切线的斜率为f'(a)，则法线的斜率为

$-\dfrac{1}{f'(a)}$

法线方程的一般形式是：

其中：

y 是法线上的点的纵坐标。
f(a是函数在点 x=a处的值。
f′(a)是函数在点 x=a处的导数，即切线的斜率。
x 是法线上的点的横坐标。
a 是法线点处的横坐标。

化简法线方程：将法线方程化简为标准形式 y=mx+b，其中 m 是斜率，b 是截距。

3.可导与连续的关系

3.1 定义

连续性

一个函数 f(x) 在点 x=a 处连续，如果满足以下条件：

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ 或者 $\lim _{h\rightarrow 0}f(a+h)-f(a)=0$

这意味着当 x 接近 a 时，函数值 f(x)也接近 f(a)。换句话说，函数在点 x=a处没有跳跃或断裂。

可导性

一个函数 f(x) 在点 x=a处可导，如果它在该点处的导数存在，即：

这意味着函数在点 x=a 处的变化率是有限的，并且有一个确定的值。

所以从连续和可导定义看出，可导的条件比连续的条件更严格。

3.2 定理

1.可导性蕴含连续性

如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，那么它在点 x=a 处连续。

证明：如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，则

我们要证f(x)在点 x=a 处连续，需要证明

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

交换上述等式：

$\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\lim _{x\rightarrow a}(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a))=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.\lim _{x\rightarrow a}(x-a)=f'(a).0=0$

所以

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

2.连续性不一定蕴含可导性

反例：考虑函数 f(x)=∣x|在 x=0处是否可导。

证明：

连续性：

$\lim _{x\rightarrow 0}|x|=0=f(0)$

函数是连续的

可导性：

左导数：

$f_{-}'(0)=\lim _{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(h+0)-f(h)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{-h-0}{h}=-1$

右导数：

$f_{+}'(0)=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(0+h)-f(h)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{h-0}{h}=1$

左右导数不相等，所以函数不可导。

4.求导公式

4.1 求导规则

1.常数规则：

$\dfrac{d}{dx}(c)=0$

其中c是常数。

2.幂函数规则：

$\tfrac{d}{dx}(x^n) = n(x^{n-1})$

其中n是任意实数。

3.常数倍规则：

其中c是常数。

4.2 常见函数的求导公式

5.高阶导数

高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数。具体来说，如果一个函数 f(x) 的一阶导数是 f′(x)，那么二阶导数就是对一阶导数再求导，记作

类似的，三阶导数是对二阶导数再求导，记作

6.隐函数求导

隐式方程是指函数关系不是显式地表示为 y=f(x)，而是表示为 F(x,y)=0的形式。隐函数求导的基本思想是通过对方程两边同时求导，然后解出

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}$

隐函数求导的基本步骤

对方程两边求导：假设有一个隐式方程 F(x,y)=0，我们对方程两边分别对 x 求导。
使用链式法则：在求导过程中，如果遇到 y 的函数，需要使用链式法则，将 y 视为 x 的函数。
通过求导得到的方程，解出 dy/dx.

7.参数方程求导

参数方程是一种描述曲线的方法，其中曲线的 x 和 y 坐标分别由两个独立的参数方程表示。假设我们有一个参数方程：

$\begin{cases}x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}$

其中 t 是参数。我们希望求出曲线的导数 dy/dx。

参数方程求导的基本步骤

1.求x对t的导数：

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=f'(t)$

2.求y对t的导数：

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=g'(t)$

3.求dy/dx：

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