高数基础知识1

标签：函数导数无穷小基础知识极限定义域区间高数

函数与极限

函数

1.定义：函数f 是从一个集合 D（称为定义域，D包含于实数集R）到另一个集合 Y（称为值域）的映射。对于定义域中的每一个元素 x，函数f都指定了一个唯一的元素 y 在值域中，记作

其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。

函数的两要素

1.定义域：函数中所有可能的输入值的集合。换句话说，定义域是使得函数有意义的所有 xx 值的集合。

2.值域：函数中所有可能的输出值的集合。换句话说，值域是函数 f(x)f(x) 在定义域内所有可能的 yy 值的集合。

定义域和值域的确定方法

1.代数方法：通过分析函数的表达式，确定哪些 xx (f(x))值使得函数有意义。

2.图形方法：通过绘制函数的图形，观察 x (y)轴上的范围，确定定义域(值域)。

3.例子：确定函数的定义域和值域

解：

定义域：由分母不为零可得函数的定义域

值域：可由定义域来确定值域

常见函数类型

1.线性函数：其中 a 和 b 是常数。

2.多项式函数：其中 ai是常数。

3.指数函数：其中 a>0 且 a≠1。

4.对数函数：其中 a>0 且 a≠1。

5.三角函数：如正弦函数 f(x)=sin⁡(x)，余弦函数 f(x)=cos⁡(x)，正切函数 f(x)=tan⁡(x)等。

6.反三角函数：如反正弦函数 f(x)=arcsin⁡(x)，反余弦函数 f(x)=arccos⁡(x)，反正切函数 f(x)=arctan⁡(x)等。

7.符号函数

8.例子：下边函数是否成立

（1）当x>0时，sgn(x)=1,|x|=x，此时

（2）当x=0时，sgn(x)=0，|x|=0，此时x = 0

（3）当x<0时，sgn(x)=-1，|x|=-x，此时

函数的特性

1.有界性：一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为有界的，如果存在两个实数 M 和 m，使得对于定义域中的任意x，都有

其中：

M 称为函数的上界。
m 称为函数的下界。

一个函数有界的充要条件：既有上界，又有下界。

2.根据函数的有界性，可以分为以下几种情况

（1）有界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f(x) 是有界函数。

（2）无界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上没有上界或没有下界，则称 f(x) 是无界函数。

3.单调性：一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为单调的，如果对于定义域中的任意 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有

单调递增：如果 f(x1)≤f(x2)，则函数 f 是单调递增的。
严格单调递增：如果 f(x1)<f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。
单调递减：如果 f(x1)≥f(x2)，则函数 f 是单调递减的。
严格单调递减：如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。

4.奇偶性

（1）一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为：

偶函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=f(x)，则函数 f 是偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。
奇函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=−f(x)，则函数 f是奇函数。奇函数的图形关于原点对称。

5.周期性：一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为周期函数，如果存在一个正数 T，使得对于定义域中的任意 x，都有

其中 T称为函数的周期。如果存在最小的正数 T 满足上述条件，则称 T 为函数的最小正周期。

反函数

1.定义：给定一个函数 f:X→Y，如果存在一个函数 g:Y→X，使得对于 X 中的每一个 x，都有 g(f(x))=x，并且对于 Y 中的每一个 y，都有 f(g(y))=y，则称 g 为f 的反函数，记作（换句话说，反函数）

注意：原函数和反函数是关于y=x对称的。

极限

数列极限

1.定义：一个数列 {an} 的极限是 L，如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在一个正整数 N，使得对于所有 n>N，都有：

换句话说，当 n 足够大时，数列的项 an可以无限接近L。此时，我们称数列 {an} 收敛于 L，记作：

2.收敛数列

3.发散数列

注：如果数列不收敛于任何有限值，则称该数列为发散的。

极限的性质

1.唯一性：如果数列 {an}收敛，则其极限是唯一的。

2.有界性：如果数列 {an}收敛，则它是有界的。

3.保序性：如果数列 {an} 和 {bn} 都收敛，且对于所有 n，都有 an≤bn，则

4.四则运算：如果数列 {an}和 {bn} 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，并且满足相应的极限运算法则。

极限的判定

1.直接法：通过分析数列的通项公式，直接计算其极限。

2.夹逼定理

（1）如果数列 {an}、{bn} 和 {cn} 满足 an≤bn≤cn，且

则

（2）例如

函数的极限

1.定义：设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义(在a处可以没有定义)。如果对于任意给定的正数 ϵ（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有

则称 L 为函数 f(x)当 x 趋近于 a 时的极限，记作

2.例子

证明：主要是找到一个正数δ，使极限定义成立。

对于任意ϵ>0，存在一个正数δ，当0<|x-1|<δ时，使得

此时取正数δ=ϵ即可。即0<|x-1|<δ=ϵ

极限性质

1.唯一性：如果极限存在，那么它是唯一的。

2.局部有界性：如果

则存在M>0， δ>0，使得 f(x) 在 0<∣x−a∣<δ内有界，即

3.局部保号性：如果

且 L>0（或 L<0），则存在 δ>0，使得 f(x)>0（或 f(x)<0）在 0<∣x−a∣<δ内成立。

极限的计算

1.代入法

2.极限运算法则

3.夹逼定理

单侧极限（左极限和右极限都存在且相等及极限存在）

1.左极限

2.右极限

无穷大与无穷小

1.无穷大

无穷大分为正无穷大和负无穷大。
无穷大加无穷大不确定，因为如果负无穷大加正无穷大不知道为多少；同理无穷大减无穷大也不确定；无穷大除以无穷大也不确定；
无穷大乘无穷大肯定为无穷大。

2.无穷小

称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于∞ 时的无穷小。

3.运算法则

无穷小加、减、乘无穷小都是无穷小
有界函数与无穷小的乘积也为无穷小
常数与无穷小的乘积也为无穷小
无穷小除以无穷小不确定。

注意：无穷小和负无穷大的区别及无穷小和非常小的数的区别。负无穷大也是无穷大，不是无穷小；非常小的数是一个常数，不是无穷小。如果f(x)是无穷大，则1/f(x)为无穷小；如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大。

4.高阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量（即当 x→a时， α→0且 β→0）。如果

则称 α是 β的高阶无穷小，记作 α=o(β)。即α的收敛速度比 β快。

5.低阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。如果

则称 α 是 β 的低阶无穷小。

6.同阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。如果

则称 α 和 β 是同阶无穷小。

7.等价无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量（即当 x→a 时， α→0且 β→0）。如果

则称 α 和 β 是等价无穷小，记作 α∼β。

8.k阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量，且

如果

则称 α 是 β 的 k 阶无穷小。

无穷大极限

1.当 x→+∞ 时的极限

2.当 x→−∞时的极限

极限存在准则

1.单调有界准则：如果函数 f(x)在某个区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上必定有极限。

2.洛必达法则

变形公式

函数连续性

连续性

1.在某点的连续性

2.左连续

3.右连续

4.连续的充要条件：函数左右连续

5.在区间的连续性

（1）如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的每一点都连续，则称函数 f(x)在区间 (a,b) 内连续。

（2）如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的每一点都连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续。

6.性质

局部性质：
- 如果函数 f(x) 在点 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a的某个邻域内有界。
全局性质：
- 如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上连续，则 f(x)在该区间上有界。
- 如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在该区间上达到最大值和最小值。
- 如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，并且 f(a)和 f(b)异号，则存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0。

不连续点

跳跃不连续点

1.函数在 x=c处是跳跃不连续点。

无穷不连续点

1.不存在或为无穷大，则称 x=a是 f(x) 的无穷不连续点。

闭区间连续函数性质

1.零点定理 :设函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，并且 f(a) 和 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0），则存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

2.介值定理 :设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，并且 f(a)≠f(b)。对于任意介于 f(a)和 f(b)之间的数 k（即 min⁡(f(a),f(b))<k<max⁡(f(a),f(b))），存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=k。

3.零点定理与介值定理的关系

零点定理可以看作是介值定理在 k=0时的特例。
如果 f(a)和 f(b)异号，则 0 介于 f(a) 和 f(b)之间，因此存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

导数

导数定义

1.当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作

其中：

Δx 是一个很小的增量，表示 x 的变化量。
f(x0) 是 x 在 x0 点的函数值，表示当 Δx 趋近于 0 时的极限。
平均变化率：在 x=x0 和 x=x0 + Δx 之间，这个比值表示函数在这段区间内的平均变化速度。
瞬时变化率：当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率的极限值就是函数在 x=x0处的瞬时变化率，即导数 f′(x0)。

单侧导数

1.左导数

2.右导数

3.导数的存在性：函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f′(a)存在，当且仅当左导数和右导数都存在且相等

导数的几何意义

切线

1.由导数定义可知，f(x)在点 (a,f(a))处的斜率

法线

1.是与切线垂直的直线。切线的斜率为f'(a)，则法线的斜率为

可导与连续的关系

1.连续性：函数在点 x=a处没有跳跃或断裂

2.可导性：函数在点 x=a 处的变化率是有限的，并且有一个确定的值。

注：从连续和可导定义看出，可导的条件比连续的条件更严格

定理

1.可导性蕴含连续性：如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，那么它在点 x=a 处连续

2.连续性不一定蕴含可导性：函数连续不一定可导

求导公式（求导规则）

1.常规规则（其中 c 是常数）

2.幂函数规则（其中 n 是任意实数）

3.常数倍规则（其中 c 是常数）

4.和差规则

5.乘积规则

6.商规则（其中 g(x)≠0 ）

常见函数的求导公式

1.指数函数（其中 a>0且 a≠1 ）

2.对数函数（其中 a>0且 a≠1 ）

3.三角函数

4.反三角函数

高阶导数

1.高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数

2.高阶导数的符号表示

一阶导数

二阶导数

三阶导数

n阶导数

隐函数求导

1.隐式方程是指函数关系不是显式地表示为 y=f(x)，而是表示为 F(x,y)=0的形式。隐函数求导的基本思想是通过对方程两边同时求导，然后解出

2.隐函数求导的基本步骤

对方程两边求导：假设有一个隐式方程 F(x,y)=0，我们对方程两边分别对 x 、y求导。
使用链式法则：在求导过程中，如果遇到 y 的函数，需要使用链式法则，将 y 视为 x 的函数。
通过求导得到的方程，解出 dy/dx。

参数方程求导

1.参数方程是一种描述曲线的方法，其中曲线的 x 和 y 坐标分别由两个独立的参数方程表示。假设我们有一个参数方程：

其中 t 是参数。我们希望求出曲线的导数 dy/dx。

2.参数方程求导的基本步骤

求 x 对 t 的导数

求 y对 t 的导数

求 dy/dx

微分

可微的充要条件

1.函数在点 x=a处连续

2.函数在点 x=a 处左右导数存在且相等

简单来说，就是可微的充要条件是函数 f(x) 在点 x=a 处可导。

微分公式与法则

1.根据微分的定义

微分实际上就是求导数，所以微分公式同求导公式

微分的几何意义

1.微分提供了一种在局部范围内用直线近似曲线的方法，这对于理解和分析函数的行为非常有用

2.常用的近似公式（当x->0 ）

微分中值定理

罗尔定理

1.如果函数 f(x)满足以下条件：

在闭区间 [a,b]上连续。
在开区间 (a,b)上可导。
在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)。

那么，在开区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得：f′(c)=0

2.罗尔定理的几何意义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上的两个端点处的函数值相等，那么在区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得该点处的切线是水平的（即导数为零）。

拉格朗日中值定理

1.如果函数 f(x)满足以下条件：

在闭区间 [a,b] 上连续。
在开区间 (a,b)上可导。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

2.拉格朗日中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率等于区间端点法线的斜率。

柯西中值定理

1.如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

在闭区间 [a,b]上连续。
在开区间 (a,b)上可导。
在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

2.柯西中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x)和 g(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率之比等于区间端点连线的斜率之比。

洛必达法则

1.洛必达法则用于求解不定型极限问题。不定型极限是指在求极限时，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

函数的单调性

1.递增函数：如果函数 f(x)在区间 (a,b)上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是递增的。如果 f′(x)>0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是严格递增的。

2.递减函数：如果函数 f(x)在区间 (a,b) 上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≤0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是递减的。如果 f′(x)<0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是严格递减的。

函数的凹凸性

函数凹凸性判定

1.函数的凹凸性可以通过其二阶导数来判定

凹函数：如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是凹的。
凸函数：如果函数 f(x) 在区间 (a,b)上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 xx，总有 f′′(x)≤0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是凸的。

拐点

1.拐点是函数图像从凹变凸或从凸变凹的点。对于函数 f(x)，如果 f′′(x)=0 且 f′′(x) 在 x 的两侧符号相反，则 x 是函数的拐点。

极值

1.是指函数在其定义域内的某个局部区间内的最大值或最小值。极值分为局部极大值和局部极小值。

如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x) 在点 c 处的局部极大值。
如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c) 是函数 f(x) 在点 c 处的局部极小值。

2.极值的充分必要条件

（1）必要条件：如果函数 f(x) 在点 x=c 处取得局部极大值或局部极小值，并且 f(x) 在 x=c处可导，则 f′(c)=0。换句话说，极值点必须是函数的驻点。

（2）充分条件

a.一阶导数判定法

局部极大值：如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)>0，在c 的右侧 f′(x)<0，则 x=c 是局部极大值。
局部极小值：如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)<0，在c 的右侧 f′(x)>0，则 x=c 是局部极小值。

b.一阶导数判定法

局部极大值：如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)<0，则 x=c 是局部极大值。
局部极小值：如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)>0，则 x=c 是局部极小值。

必要条件 ：

jiben最值

1.最值是指函数在其整个定义域内的最大值和最小值。最值分为全局最大值和全局最小值。

如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最大值。
如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最小值。

不定积分

定义

1.如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分

表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：

其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

基本积分公式

1.常数积分

2.幂函数积分

3.指数函数积分

4.对数函数积分

5.三角函数积分

6.反三角函数积分

换元积分法

第一类换元积分法

选择合适的变量替换：选择一个合适的变量替换 u=g(x)，使得积分变得更简单。
求导数：求 u 对 x 的导数

并将其改写为

3.替换积分变量：将原积分中的 x 替换为 u，并将 dx 替换为

4.求解新积分：求解新的积分

5.回代变量：将 u 回代为 g(x)，得到最终的不定积分结果。

注：简单理解就是观察函数，将d前边的某一部分求原函数，然后放到d的里面。

第二类换元积分法

1.选择合适的变量替换：选择一个合适的变量替换 x=g(t)，使得积分变得更简单。

2.求导数：求 x 对 t 的导数