积分与多元函数 高数复习笔记

4.不定积分

4.1.定义

如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分
∫ f ( x )   d x \int f(x) dx ∫f(x) dx
表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：

∫ f ( x )   d x = F ( x ) + C \int f(x) dx=F(x)+C ∫f(x) dx=F(x)+C
其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

4.2.基本积分公式

1. 常数积分：
   ∫ k   d x = k x + C ( 其中 k 是常数 ) ∫k dx=kx+C(其中 k 是常数) ∫k dx=kx+C(其中k是常数)

2. 幂函数积分：
   ∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C ( 其中 n ≠ − 1 ) ∫x^{n} dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C(其中 n≠−1) ∫xn dx=n+1xn+1​+C(其中n=−1)

3. 指数函数积分：
   ∫ e x   d x = e x + C ∫e^{x} dx=e^{x}+C ∫ex dx=ex+C

   ∫ a x   d x = a x l n ⁡ a + C ( 其中 a > 0 且 a ≠ 1 ) ∫a^{x} dx=\dfrac{a^{x}}{ln⁡a}+C(其中 a>0 且 a≠1) ∫ax dx=ln⁡aax​+C(其中a>0且a=1)

4. 对数函数积分：
   ∫ 1 x   d x = l n ⁡ ∣ x ∣ + C ∫\dfrac{1}{x} dx=ln⁡∣x∣+C ∫x1​ dx=ln⁡∣x∣+C

5. 三角函数积分：
   ∫ s i n ⁡ x   d x = − c o s ⁡ x + C ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C

   ∫ c o s ⁡ x   d x = s i n ⁡ x + C ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C

6. 反三角函数积分：
   ∫ 1 1 − x 2   d x = a r c s i n ⁡ x + C ∫\dfrac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} dx=arcsin⁡x+C ∫1−x2 ​1​ dx=arcsin⁡x+C

   ∫ 1 1 + x 2   d x = a r c t a n ⁡ x + C ∫\dfrac{1}{1+x^{2}} dx=arctan⁡x+C ∫1+x21​ dx=arctan⁡x+C

4.3.换元积分法

4.3.1 第一类换元积分法

1. 选择合适的变量替换：
   选择一个合适的变量替换 u=g(x)，使得积分变得更简单。

2. 求导数：
   求 u 对 x 的导数
   d u d x = g ′ ( x ) \dfrac{du}{dx}=g′(x) dxdu​=g′(x)
   ，并将其改写为
   d u = g ′ ( x )   d x du=g′(x) dx du=g′(x) dx

3. 替换积分变量：
   将原积分中的 x 替换为 u，并将 dx 替换为
   d u g ′ ( x ) \dfrac{du}{g′(x)} g′(x)du​

4. 求解新积分：
   求解新的积分
   ∫ f ( u )   d u ∫f(u) du ∫f(u) du

5. 回代变量：
   将 u 回代为 g(x)，得到最终的不定积分结果。

简单理解就是观察函数，将d前边的某一部分求原函数，然后放到d的里面。

4.3.2 第二类换元积分法

第二类换元积分法通常涉及三角函数替换或带根号形式的替换。

1. 选择合适的变量替换：
   选择一个合适的变量替换 x=g(t)，使得积分变得更简单。

2. 求导数：
   求 x 对 t 的导数
   d x d t = g ′ ( t ) \dfrac{dx}{dt}=g′(t) dtdx​=g′(t)
   ，并将其改写为
   d x = g ′ ( t )   d t dx=g′(t) dt dx=g′(t) dt

3. 替换积分变量：
   将原积分中的 x 替换为 g(t)，并将 dx替换为 g′(t) dt。

4. 求解新积分：
   求解新的积分
   ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t )   d t ∫f(g(t))g′(t) dt ∫f(g(t))g′(t) dt

5. 回代变量：
   将 t 回代为
   g − 1 ( x ) g^{−1}(x) g−1(x)
   ，得到最终的不定积分结果。

简单理解就是将变量替换 x=g(t)，对dx求出dt，然后对t进行积分，最后将t换回x。

5.定积分

定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数在某个区间上的累积效应或面积。

5.1.定义

定积分
∫ a b f ( x )   d x ∫_{a}^{b}f(x) dx ∫ab​f(x) dx
表示函数 f(x)在区间 [a,b]上的累积效应或面积。定积分的定义可以通过以下步骤来理解：

1. 分割区间：
   将区间 [a,b]分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，其中
   Δ x i = x i − x i − 1 Δx_{i}=x_{i}−x_{i−1} Δxi​=xi​−xi−1​
   ，且 x0=a，xn=b。

2. 取样本点：
   在每个小区间
   [ x i − 1 , x i ] [x_{i−1},x_{i}] [xi−1​,xi​]
   内取一个样本点 ξi。

3. 构造黎曼和：
   构造黎曼和
   ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \sum _{i=1}^{n}f(ξ_{i})Δx_i i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
   ，表示函数 f(x) 在区间 [a,b]上的近似累积效应或面积。

4. 取极限：
   当分割的区间数 n 趋向于无穷大，且每个小区间的长度 Δxi趋向于零时，黎曼和的极限即为定积分：
   ∫ a b f ( x )   d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∫_{a}^{b}f(x) dx=\lim _{n\rightarrow \infty}\sum _{i=1}^{n}f(ξ_{i})Δx_{i} ∫ab​f(x) dx=n→∞lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

说明：

黎曼和是通过将区间 [a,b]分成 n 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为
Δ x = b − a n Δx=\dfrac{b−a}{n} Δx=nb−a​
，然后选择每个子区间内的一点 xi，计算矩形的面积之和来近似积分的。

黎曼和可以表示为：
S n = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x S_n=∑_{i=1}^nf(x_i)Δx Sn​=i=1∑n​f(xi​)Δx
其中：

• Sn是黎曼和的值。
• n是子区间的数量。
• xi是第 i个子区间 [xi−1,xi]内的一点。
• Δx是每个子区间的宽度。

以上定义的几何图形：

5.2.几何意义

定积分
∫ a b f ( x )   d x ∫_{a}^{b}f(x) dx ∫ab​f(x) dx
的几何意义是函数 f(x) 在区间 [a,b]上的曲线下面积。具体来说：

• 如果 f(x)≥0，则定积分表示曲线下方的面积。
• 如果 f(x)≤0，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

5.3.性质

定积分具有以下重要性质：

1. 线性性质：
   ∫ a b [ c f ( x ) + d g ( x ) ]   d x = c ∫ a b f ( x )   d x + d ∫ a b g ( x )   d x ∫_{a}^{b}[cf(x)+dg(x)] dx=c∫_{a}^{b}f(x) dx+d∫_{a}^{b}g(x) dx ∫ab​[cf(x)+dg(x)] dx=c∫ab​f(x) dx+d∫ab​g(x) dx
   其中 c 和 d 是常数。

2. 区间可加性：
   ∫ a b f ( x )   d x = ∫ a c f ( x )   d x + ∫ c b f ( x )   d x ∫_{a}^{b}f(x) dx=∫_{a}^{c}f(x) dx+∫_{c}^{b}f(x) dx ∫ab​f(x) dx=∫ac​f(x) dx+∫cb​f(x) dx
   其中 a≤c≤b。

3. 积分上下限交换：
   ∫ a b f ( x )   d x = − ∫ b a f ( x )   d x ∫_{a}^{b}f(x) dx=−∫_{b}^{a}f(x) dx ∫ab​f(x) dx=−∫ba​f(x) dx

4. 定积分中值定理

   如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c∈[a,b]，使得：

∫ a b f ( x )   d x = f ( c ) ( b − a ) ∫_{a}^{b}f(x) dx=f(c)(b−a) ∫ab​f(x) dx=f(c)(b−a)

证明：

设f(x)在[a,b]上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为M，最小值为m，最大值和最小值可相等。

对

m ≤ f ( x ) ≤ M m\leq f(x)\leq M m≤f(x)≤M
两边同时积分可得：
m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a) m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)
同除以b-a从而得到：
m ≤ 1 ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x ≤ M m\leq \dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx\leq M m≤(b−a)1​∫ab​f(x)dx≤M
由连续函数的介值定理可知，必定
∃ c ∈ [ a , b ] \exists c\in [a,b] ∃c∈[a,b]
，使得
f ( c ) = 1 ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x f(c)=\dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx f(c)=(b−a)1​∫ab​f(x)dx
，即：
∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) , ∃ c ∈ [ a , b ] \int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a),\exists c\in [a,b] ∫ab​f(x)dx=f(c)(b−a),∃c∈[a,b]

5.4.微积分基本公式

牛顿-莱布尼茨公式
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) ∫_{a}^{b}f(x)dx=F(b)−F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

其中， F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，即 F ′ ( x ) = f ( x ) 。 其中，F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)。 其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F′(x)=f(x)。

微积分基本定理

微积分基本定理分为两部分，分别描述了积分上限函数的性质和定积分的基本公式。

第一部分（Part 1）

如果 f(t) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限函数
F ( x ) = ∫ a x f ( t )   d t F(x)=∫_{a}^{x}f(t) dt F(x)=∫ax​f(t) dt
在区间 [a,b] 上可导，并且其导数为：

F ′ ( x ) = f ( x ) F′(x)=f(x) F′(x)=f(x)
第一基本定理表明不定积分是微分的逆运算，保证了某连续函数的原函数的存在性。

第二部分（Part 2）

如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)，则：
∫ a b f ( x )   d x = F ( b ) − F ( a ) ∫_{a}^{b}f(x) dx=F(b)−F(a) ∫ab​f(x) dx=F(b)−F(a)
第二基本定理则提供了定积分和不定积分之间的联系，使得定积分的计算变得简便。

5.5.定积分换元法

步骤

1. 选择合适的变量替换：
   选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数：

x = g − 1 ( t ) = h ( t ) x=g^{-1}(t)=h(t) x=g−1(t)=h(t)

2. 求导数：
   对 x 的导数

d x = h ′ ( t ) d t dx=h'(t)dt dx=h′(t)dt

3. 替换积分变量：
   将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为

h ′ ( t ) d t h'(t)dt h′(t)dt

4. 确定新的积分上下限：
   将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。

5. 求解新积分：
   求解新的定积分

∫ t 1 t 2 f ( h ( t ) )   h ′ ( t ) d t ∫_{t_{1}}^{t_{2}}f(h(t)) h'(t)dt ∫t1​t2​​f(h(t)) h′(t)dt

6.多元函数

6.1.二元极限

定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当
0 < ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < δ 0<\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}<δ 0<(x−a)2+(y−b)2 ​<δ
时，总有：

∣f(x,y)−L∣<ϵ

则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作：
lim ⁡ ⁡ ( x , y ) → ( a , b ) f ( x , y ) = L \lim⁡ _{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L lim⁡(x,y)→(a,b)​f(x,y)=L
几何意义

当点 (x,y)从任意方式趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点 (a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

6.2.偏导数

‌偏导数是‌多元函数求导的一种形式，表示在多个自变量中，当其中一个自变量改变而其他自变量保持不变时函数值的变化率。

这实质上是将其他自变量视为常数，然后按照单变量函数求导的方法进行运算。‌

定义

设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某个邻域内有定义。如果极限：
lim ⁡ ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \lim_{⁡Δx→0}\dfrac{f(x_0+Δx,y_0)−f(x_0,y_0)}{Δx} ⁡Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​
存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数，记作：
∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) 或 f x ′ ( x 0 , y 0 ) \dfrac{∂f}{∂x}∣(x_0,y_0)或f'_x(x_0,y_0) ∂x∂f​∣(x0​,y0​)或fx′​(x0​,y0​)
类似地，如果极限：
lim ⁡ ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \lim⁡ _{Δy→0}\dfrac{f(x_0,y_0+Δy)−f(x_0,y_0)}{Δy} lim⁡Δy→0​Δyf(x0​,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)​
存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数，记作：
∂ f ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) 或 f y ′ ( x 0 , y 0 ) \dfrac{∂f}{∂y}∣(x_0,y_0)或f'_y(x_0,y_0) ∂y∂f​∣(x0​,y0​)或fy′​(x0​,y0​)
‌偏导数的计算方法‌

对于二元函数z=f(x,y)，求z对x的偏导数时，将y看作常量，对x求导；求z对y的偏导数时，将x看作常量，对y求导。

6.3.全微分

定义

如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
可以表示为
Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

可微的必要条件条件

若z=f(x,y)在(x,y)点处可微，则偏导数
f x ′ ( x , y ) 和 f y ′ ( x , y ) f_{x}'(x,y)和f_{y}'(x,y) fx′​(x,y)和fy′​(x,y)
存在，并且
d z = f x ′ ( x , y ) ⁡ Δ x + f y ′ ( x , y ) ⁡ Δ y 或 d z = f x ′ ( x , y ) d x + f y ′ ( x , y ) ⁡ d x dz=f_{x}'(x,y)⁡Δx+f_{y}'(x,y)⁡Δy或dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)⁡dx dz=fx′​(x,y)⁡Δx+fy′​(x,y)⁡Δy或dz=fx′​(x,y)dx+fy′​(x,y)⁡dx
可微的充分条件

z=f(x,y)在(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数
f x ′ ( x , y ) 和 f y ′ ( x , y ) f_{x}'(x,y)和f_{y}'(x,y) fx′​(x,y)和fy′​(x,y)
则在(x,y)处可微，
d z = f x ′ ( x , y ) ⁡ Δ x + f y ′ ( x , y ) ⁡ Δ y 或 d z = f x ′ ( x , y ) d x + f y ′ ( x , y ) ⁡ d x dz=f_{x}'(x,y)⁡Δx+f_{y}'(x,y)⁡Δy或dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)⁡dx dz=fx′​(x,y)⁡Δx+fy′​(x,y)⁡Δy或dz=fx′​(x,y)dx+fy′​(x,y)⁡dx

6.4.梯度

梯度是一个向量，表示多元函数在某一点处的最大变化率和变化方向。

定义

设 f(x1,x2,…,xn)是一个定义在 Rn(n维欧几里得空间) 上的多元函数，函数 f在n维向量点 a=(a1,a2,…,an)处的梯度定义为：
∇ f ( a ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( a ) , ∂ f ∂ x 2 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ) ∇f(a)=(\dfrac{∂f}{∂x_1}(a),\dfrac{∂f}{∂x_2}(a),…,\dfrac{∂f}{∂x_n}(a)) ∇f(a)=(∂x1​∂f​(a),∂x2​∂f​(a),…,∂xn​∂f​(a))
其中，
∂ f ∂ x i ( a ) \dfrac{∂f}{∂x_i}(a) ∂xi​∂f​(a)
是函数 f 在点 a 处对第 i 个自变量的偏导数。

性质

1. 最大变化率：梯度 ∇f(a) 的方向是函数 f在点 a 处变化率最大的方向。
2. 变化率：梯度 ∇f(a) 的大小（模）是函数 f 在点 a 处沿梯度方向的变化率。

沿梯度方向是是函数 f在点 a 处变化率增加最大的方向；沿梯度反方向是是函数 f在点 a 处变化率减小最大的方向；沿梯度垂直方向函数 f在点 a 处变化率为0。

梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于寻找多元函数的最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，以减少函数值。

算法步骤

1. 初始化：选择一个初始点 x0。

2. 迭代更新：对于每次迭代 k，计算当前点的梯度
   ∇ f ( x k ) ∇f(x_k) ∇f(xk​)
   ，并更新参数：
   x k + 1 = x k − η ∇ f ( x k ) x_{k+1}=x_k−η∇f(x_k) xk+1​=xk​−η∇f(xk​)
   其中，η 是学习率（步长），控制每次更新的步幅。

3. 终止条件：当梯度的模足够小或达到预设的迭代次数时，停止迭代。通常，终止条件可以是以下几种：

   1. 梯度的模足够小：当梯度的模（或范数）
      ∥ ∇ f ( x k ) ∥ ∥∇f(xk)∥ ∥∇f(xk)∥
      小于某个阈值时，停止迭代。

      说明：

      梯度的范数表示梯度向量的大小，即梯度向量的长度。

      梯度的范数（模） ∥∇f(xk)∥是这个向量的欧几里得长度，定义为：
      ∣ ∣ ∇ f ( x k ) ∣ ∣ = ( ∂ f ∂ x 1 ) 2 + ( ∂ f ∂ x 2 ) 2 + ⋯ + ( ∂ f ∂ x n ) 2 ||∇f(x_k)||=\sqrt{(\dfrac{∂f}{∂x_1})^2+(\dfrac{∂f}{∂x_2})^2+⋯+(\dfrac{∂f}{∂x_n})^2} ∣∣∇f(xk​)∣∣=(∂x1​∂f​)2+(∂x2​∂f​)2+⋯+(∂xn​∂f​)2 ​

   2. 达到预设的迭代次数：当迭代次数达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。

   3. 函数值变化足够小：当函数值的变化
      ∣ f ( x k + 1 ) − f ( x k ) ∣ ∣f(x_{k+1})−f(x_k)∣ ∣f(xk+1​)−f(xk​)∣
      小于某个阈值时，停止迭代。

学习率

学习率 η是一个重要的超参数，控制着每次更新的步幅。选择合适的学习率对于梯度下降算法的性能至关重要：

• 学习率过大：如果步幅过大，算法可能会“跳过”最优解，导致在最优解附近来回震荡。
• 学习率过小：可能导致算法收敛速度过慢。

6.5.二重积分

二重积分是多元微积分中的一个重要概念，用于计算二维区域上的函数积分。它通常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。二

重积分的基本思想是将一个二维区域分割成无数个小区域，然后在每个小区域上计算函数值的积分。

定义

设 f(x,y)f(x,y) 是定义在平面区域 D 上的函数，二重积分记作：
∬ D f ( x , y )   d A ∬_Df(x,y) dA ∬D​f(x,y) dA

其中 dA表示面积元素。

几何意义

如果 f(x,y)是非负函数，二重积分
∬ D f ( x , y )   d A ∬_Df(x,y) dA ∬D​f(x,y) dA
表示以 D 为底、以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

二重积分的计算步骤-直角坐标系

在直角坐标系下，二重积分可以表示为两个定积分的乘积：
∬ D f ( x , y )   d A = ∫ a b ∫ g ( x ) h ( x ) f ( x , y )   d y   d x ∬_Df(x,y) dA=∫_a^b∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy dx ∬D​f(x,y) dA=∫ab​∫g(x)h(x)​f(x,y) dy dx

其中 D 是由 x=a 到 x=b 以及 y=g(x)到 y=h(x) 围成的区域。

1. 确定积分区域 D：首先，你需要确定积分区域 D的边界。这个区域可以是矩形、圆形、多边形等。

2. 设置积分限：根据积分区域 D，设置积分的限。例如，对于直角坐标系中的矩形区域，积分限通常是 a≤x≤b 和 c≤y≤d。

3. 写出积分表达式：根据积分限写出二重积分的表达式：
   ∫ a b ∫ g ( x ) h ( x ) f ( x , y )   d y   d x = ∫ a b d x ∫ g ( x ) h ( x ) f ( x , y )   d y   ∫_a^b∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy dx=∫_a^bdx∫_{g(x)}^{h(x)}f(x,y) dy  ∫ab​∫g(x)h(x)​f(x,y) dy dx=∫ab​dx∫g(x)h(x)​f(x,y) dy 

4. 计算内层积分：先对 y 进行积分，得到关于 x 的表达式。

5. 计算外层积分：再对 x 进行积分，得到最终的积分值。

二重积分的计算步骤-极坐标系

极坐标系的二重积分计算步骤同直角坐标系，不同的是需要将直角坐标系的坐标转换为极坐标。

极坐标系的基本概念

• 原点：极坐标系的原点称为极点（通常记作 O）。
• 极径：从极点到某一点的距离称为径向距离（通常记作 r）。
• 极角：从极点到某一点的射线与极轴（通常是正 xx 轴）之间的角度称为极角（通常记作 θ）。

给定点的极坐标 (r,θ)，可以转换为直角坐标 (x,y)：
x = r c o s ⁡ θ y = r s i n ⁡ θ x=rcos⁡θ\\ y=rsin⁡θ x=rcos⁡θy=rsin⁡θ
在极坐标下，二重积分的表达式为：
∬ D f ( x , y )   d A = ∬ D f ( r , θ )   r   d r   d θ ∬_Df(x,y) dA=∬_Df(r,θ) r dr dθ ∬D​f(x,y) dA=∬D​f(r,θ) r dr dθ
其中 r 和 θ 分别是极径和极角。

注意：转换为极坐标系的二重积分中需要多加一个r ，这个最容易忘记。