在本文中，我尝试利用实数的完备性公理，按照一定路径证明六个经典而深刻的命题，分别是单调有界定理、柯西收敛原理、确界原理、闭区间套定理、极限点原理、和有限覆盖定理，以作为我这个月数分学习的总结。
也许未必值得指出，我们学校现行数分教材编排体系出现了一定程度的混乱，其根本原因是没有以严格的实数理论（至少是成型的框架）为基础。
如有错误，烦请指正.
实数完备性公理：如果 \(X,Y \subset\mathbb R\)，并且对于任何元素 \(x\in X,y\in Y\)，有 \(x\le y\)，则存在 \(z\in \mathbb R\)，使得对任意元素 \(x\in X,y\in Y\)，都有 \(x\le z\le y\).
（上）确界原理：\(\mathbb R\) 的任意有上界的非空子集 \(S\) 都有（唯一的）上确界.
证明：设 \(T\) 是 \(S\) 的上界构成的集合，则由实数完备性公理，存在 \(c\in \mathbb R\)，使得对于任意 \(s\in S,t\in T\)，都有 \(s\le c\le t.\) 则 \(c\) 是 \(S\) 的上界，从而 \(c\in T\)，从而 \(c\) 是 \(T\) 的最小元，即 \(S\) 的上确界. 若 \(c'\) 也是 \(S\) 的上确界，则由 \(c\le c',c'\le c\) 得 \(c=c'.\) 证毕.
（下）确界原理的表述与证明从略.
单调收敛定理：单调递增（减）且有上（下）界的序列收敛.
证明：设 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界，则 \(\{a_n\}\) 有唯一的上确界，记为 \(A.\)
对于任意 \(\varepsilon>0\)，\(A-\varepsilon\) 不是 \(\{a_n\}\) 的上界，即存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得 \(A-\varepsilon<a_N\le A\)，则对于一切 \(n> N\)，因为有 \(a_N\le a_n<A\)，所以 \(|a_n-A|\le A-a_N<\varepsilon.\) 从而 \(a_n\longrightarrow A.\)
单调递减且有下界的情况同理，证毕.
闭区间套定理：假设 \(I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_n\supset\cdots\) 是闭区间套，其中 \(I_n=[a_n,b_n].\) 且 \(\lim |I_n|=0\)，则 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n\) 恰好由一个元素构成。
证明：由闭区间的包含关系知 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界 \(b_1\)，因此它收敛于某个实数 \(a.\) 同理 \(\{b_n\}\) 收敛于某个实数 \(b\)，从而 \(b-a=\lim b_n-\lim a_n=\lim(b-a)=0\)，即 \(a=b\)，下令 \(c=a=b.\)
\(c\) 是 \(\{a_n\}\) 的上确界和 \(\{b_n\}\) 的下确界，因此对任意正整数 \(n\)，\(a_n\le c\le b_n\) 成立，即 \(c\in \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\).
设 \(c'\in \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\)，从而 \(a_n\le c'\le b_n\)，对任意正整数 \(n.\) 由夹逼定理可知 \(c'=c.\) 于是 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{c\}.\) 证毕.
极限点原理：任意有界序列均存在收敛子列.
证明：设 \(\{a_n\}\) 是一个有界序列，\(a,b\) 分别是它的一个下界和上界，我们通过如下方式构造一个闭区间套：
(i) 令 \(I_1=[a,b].\)
(ii) 假设 \(I_k(k\le n)\) 已被构造，且 \(I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_n\)，\(\{a_n\}\) 分别有无穷多项落在每个 \(I_k.\) 令 \(I_n=[a_n,b_n]\)，设 \(m=(a_n+b_n)/2\)，则 \([a_n,m]\) 和 \([m,b_n]\) 必有一个满足 \(\{a_n\}\) 有无穷多项落在其中，令这个区间为 \(I_{n+1}.\)
设 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{c\}\)，通过如下方式构造一个 \(\{a_n\}\) 的子列：
(i) 在 \(I_1\) 中找到 \(a_{k_1}\).
(ii) 假设 \(a_{k_1},a_{k_2},\cdots,a_{k_n}\) 已被构造，则在 \(I_{n+1}\) 中找到 \(a_{k_n}\) 之后的某项 \(a_{k_{n+1}}.\)
对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得对于任意 \(n>N\)， \(|I_n|\le \varepsilon\)， 从而 \(|a_{k_n}-c|\le |I_n|\le \varepsilon.\) 即证 \(\{a_{k_n}\}\) 收敛于 \(c\)，即证 \(\{a_n\}\) 存在收敛子列，证毕.
柯西收敛原理：一个序列是柯西的当且仅当它收敛.
默认已知柯西序列的有界性，因为这是 trivial 的.
证明：若序列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，则对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得对于任意 \(n>N\)，都有 \(|a_n-a|<\varepsilon/2.\) 于是对于任意 \(n,m>N\)，都有
\[|a_n-a_m|\le |a_n-a|+|a_m-a|<\varepsilon. \]即 \(\{a_n\}\) 是柯西的.
若序列 \(\{a_n\}\) 是柯西序列，则它是有界序列，从而它存在收敛子列 \(\{a_{k_n}\}.\) 设 \(a_{k_n}\longrightarrow a.\)
对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N_1\in \mathbb N^{+}\)，使得对于任意 \(n>N_1\)，都有 \(|a_{k_n}-a|<\varepsilon/2.\)
存在 \(N_2\in\mathbb N^{+}\)，使得对于任意 \(n,m>N_2\)，都有 \(|a_n-a_m|<\varepsilon/2.\)
令 \(N=\max\{N_1,N_2\}\)，对于任意 \(n>N\)，\(|a_n-a|\le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-a|<\varepsilon.\)
从而 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a.\) 由上可知证毕.
有限覆盖定理：若实数上的某个闭区间 \([a,b]\) 存在开覆盖 \(\mathcal I=\{I_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}\)，其中 \(\Lambda\) 是指标集，则其存在有限子覆盖.
证明：二分法构造闭区间套的流程如上，下文从简.
假设 \([a,b]\) 不能被 \(\mathcal I\) 中有限个集合覆盖，二分法构造闭区间套 \([a,b]=[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset\cdots\supset [a_n,b_n]\supset\cdots\)，使得每一个 \([a_n,b_n]\) 均不能被 \(\mathcal I\) 中有限个集合覆盖.
令 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{c\}\)，则 \(c\in [a_1,b_1]=[a,b]\)，从而存在 \(\lambda\in \Lambda\)，使得 \(c\in I_{\lambda}.\)
存在 \(n\in\mathbb N^{+}\)，使得 \(b_n-a_n< |I_\lambda|\)，从而 \([a_n,b_n]\subset I_\lambda\)，而这与构造相违背.
因此 \([a,b]\) 必然可以被 \(\mathcal I\) 中有限个集合包含. 证毕.
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