T4式子

标签：me frac 函数 T4 aligned sum 式子

我们要求的是：

\[n!\sum _{k=1}^{n}[x^n] e _{k}^{m}{(x)} \]

其中 \([x^n]\) 表示 \(x^n\) 的系数。

首先对 \(e ^m_{k}(x)\) 求导，这里用到了复合函数的求导，（这里简单写了，不是很严谨）即：
对于两个函数 \(f(x)、g(x)\) ，令 \(h(x)=f[g(x)]\) ，则 \(h'(x)=f'[g(x)] g'(x)\)

这里我们可以把 \(e ^m_{k}(x)\) 看做是 $f(x)=x^m $ 和 \(g(x)=e _{k}(x)\) 的复合函数

那么：

\[(e ^{m}_{k}(x))'=me ^{m-1}_{k}(x)e'_{k}(x) \]

现在看看 \(e'_{k}(x)\) ，因为 \(e _{k}(x)=\sum _{i=0}^{k}\frac{x^i}{i!}\) ，故 \(e'_{k}(x)=\sum _{i=1}^{k}\frac{x ^{i-1}}{(i-1)!}=\sum _{i=0}^{k-1}\frac{x^i}{i!}=e _{k}(x)-\frac{x^k}{k!}\) 。
《没想到这个函数有这么美妙的性质》

所以：
\begin{aligned}
(e ^{m}_{k}(x))'&=me ^{m-1} _{k}(x) e' _{k} (x)\\
&=me ^{m-1} _{k}(x)(e _{k} ^{m}(x)-\frac{x ^k}{k!})\\
&=m e ^{m} _{k}(x)-\frac{mx ^k}{k!}e _{k} ^{m-1}(x)\\
\end{aligned}

那么对于其 \(n\) 次项系数，该等式仍然成立。

也就是：

\[[x^n](e ^{m}_{k}(x))'=[x^n]m e ^{m} _{k}(x)-\frac{mx ^k}{k!}[x ^{n-k}]e _{k} ^{m-1}(x) \]

此时设 \(e _{k} ^{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}f(m,n)x^n\) ，那么可知 \([x^n](e ^{m}_{k}(x))' =(n+1)f(m,n+1)\)

于是：

\[(n+1)f(m,n+1)=mf(m,n)-\frac{m}{k!}f(m-1,n-k) \]

《然后我就不会了》

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