多目标优化算法求解36个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ9、WFG1-WFG9、UF1-UF10、LSMOP1-LSMOP3）

36个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ9、WFG1-WFG9、UF1-UF10、LSMOP1-LSMOP3）是专门为了测试和比较不同多目标优化算法的性能而设计的。下面是每个函数集的简要介绍：

1. ZDT（Zitzler-Deb-Thiele）函数集：
   ZDT系列是一组经典的多目标优化测试函数，由Eckart Zitzler、Lothar Thiele和Klaus Deb提出，用于评估和比较多目标优化算法的性能。以下是对ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4和ZDT6这五个测试函数的介绍：

ZDT1函数是一个双目标优化函数，它具有一个全局最优解和一个局部最优解。该函数的定义如下：

f 1 ( x ) = x 1 f 2 ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) g ( x ) = 1 + 9 n − 1 ⋅ ∑ i = 2 n x i h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 − f 1 ( x ) g ( x ) − f 1 ( x ) g ( x ) ⋅ sin ⁡ ( 10 π f 1 ( x ) ) f_1(x) = x_1 \\ f_2(x) = g(x) \cdot h(f_1(x), g(x)) \\ g(x) = 1 + \frac{9}{n-1} \cdot \sum_{i=2}^{n} x_i \\ h(f_1(x), g(x)) = 1 - \sqrt{\frac{f_1(x)}{g(x)}} - \frac{f_1(x)}{g(x)} \cdot \sin(10 \pi f_1(x)) f1​(x)=x1​f2​(x)=g(x)⋅h(f1​(x),g(x))g(x)=1+n−19​⋅i=2∑n​xi​h(f1​(x),g(x))=1−g(x)f1​(x)​ ​−g(x)f1​(x)​⋅sin(10πf1​(x))

其中， x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x = (x_1, x_2, ..., x_n) x=(x1​,x2​,...,xn​)是决策变量向量， n n n是决策变量的维度。ZDT1函数的全局最优解是 x ∗ = ( 0 , 1 , . . . , 1 ) x^* = (0, 1, ..., 1) x∗=(0,1,...,1)，对应的目标函数值为 f ∗ = ( 0 , 1 − 0 , . . . , 1 − 1 − 1 n 2 ) f^* = (0, 1 - \sqrt{0}, ..., 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}) f∗=(0,1−0 ​,...,1−1−n21​ ​)。

ZDT2函数也是一个双目标优化函数，它具有一个全局最优解和一个局部最优解。该函数的定义如下：

f 1 ( x ) = x 1 f 2 ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) g ( x ) = 1 + 9 n − 1 ⋅ ∑ i = 2 n x i h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 − ( f 1 ( x ) g ( x ) ) 2 f_1(x) = x_1 \\ f_2(x) = g(x) \cdot h(f_1(x), g(x)) \\ g(x) = 1 + \frac{9}{n-1} \cdot \sum_{i=2}^{n} x_i \\ h(f_1(x), g(x)) = 1 - (\frac{f_1(x)}{g(x)})^2 f1​(x)=x1​f2​(x)=g(x)⋅h(f1​(x),g(x))g(x)=1+n−19​⋅i=2∑n​xi​h(f1​(x),g(x))=1−(g(x)f1​(x)​)2

其中， x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x = (x_1, x_2, ..., x_n) x=(x1​,x2​,...,xn​)是决策变量向量， n n n是决策变量的维度。ZDT2函数的全局最优解是 x ∗ = ( 0 , 1 , . . . , 1 ) x^* = (0, 1, ..., 1) x∗=(0,1,...,1)，对应的目标函数值为 f ∗ = ( 0 , 1 − 0 2 , . . . , 1 − 0 2 ) f^* = (0, 1 - 0^2, ..., 1 - 0^2) f∗=(0,1−02,...,1−02)。

ZDT3函数是一个双目标优化函数，它具有一个全局最优解和一个局部最优解。该函数的定义如下：

f 1 ( x ) = x 1 f 2 ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) g ( x ) = 1 + 9 n − 1 ⋅ ∑ i = 2 n x i h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 − f 1 ( x ) g ( x ) − f 1 ( x ) g ( x ) ⋅ sin ⁡ ( 10 π f 1 ( x ) ) f_1(x) = x_1 \\ f_2(x) = g(x) \cdot h(f_1(x), g(x)) \\ g(x) = 1 + \frac{9}{n-1} \cdot \sum_{i=2}^{n} x_i \\ h(f_1(x), g(x)) = 1 - \sqrt{\frac{f_1(x)}{g(x)}} - \frac{f_1(x)}{g(x)} \cdot \sin(10 \pi f_1(x)) f1​(x)=x1​f2​(x)=g(x)⋅h(f1​(x),g(x))g(x)=1+n−19​⋅i=2∑n​xi​h(f1​(x),g(x))=1−g(x)f1​(x)​ ​−g(x)f1​(x)​⋅sin(10πf1​(x))

其中， x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x = (x_1, x_2, ..., x_n) x=(x1​,x2​,...,xn​)是决策变量向量， n n n是决策变量的维度。ZDT3函数的全局最优解是 x ∗ = ( 0 , 1 , . . . , 1 ) x^* = (0, 1, ..., 1) x∗=(0,1,...,1)，对应的目标函数值为 f ∗ = ( 0 , 1 − 0 , . . . , 1 − 1 − 1 n 2 ) f^* = (0, 1 - \sqrt{0}, ..., 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}) f∗=(0,1−0 ​,...,1−1−n21​ ​)。

ZDT4函数是一个双目标优化函数，它具有一个全局最优解和一个局部最优解。该函数的定义如下：

f 1 ( x ) = x 1 f 2 ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) g ( x ) = 1 + 10 ( n − 1 ) + ∑ i = 2 n ( x i 2 − 10 cos ⁡ ( 4 π x i ) ) h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 − f 1 ( x ) g ( x ) f_1(x) = x_1 \\ f_2(x) = g(x) \cdot h(f_1(x), g(x)) \\ g(x) = 1 + 10(n-1) + \sum_{i=2}^{n} (x_i^2 - 10 \cos(4 \pi x_i)) \\ h(f_1(x), g(x)) = 1 - \sqrt{\frac{f_1(x)}{g(x)}} f1​(x)=x1​f2​(x)=g(x)⋅h(f1​(x),g(x))g(x)=1+10(n−1)+i=2∑n​(xi2​−10cos(4πxi​))h(f1​(x),g(x))=1−g(x)f1​(x)​ ​

其中， x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x = (x_1, x_2, ..., x_n) x=(x1​,x2​,...,xn​)是决策变量向量， n n n是决策变量的维度。ZDT4函数的全局最优解是 x ∗ = ( 0 , 1 , . . . , 1 ) x^* = (0, 1, ..., 1) x∗=(0,1,...,1)，对应的目标函数值为 f ∗ = ( 0 , 1 − 0 , . . . , 1 − 1 − 1 n 2 ) f^* = (0, 1 - \sqrt{0}, ..., 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}) f∗=(0,1−0 ​,...,1−1−n21​ ​)。

ZDT6函数是一个双目标优化函数，它具有一个全局最优解和一个局部最优解。该函数的定义如下：

f 1 ( x ) = 1 − exp ⁡ ( − 4 x 1 ) ⋅ sin ⁡ 6 ( 6 π x 1 ) f 2 ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) g ( x ) = 1 + 9 ( ∑ i = 2 n x i n − 1 ) 0.25 h ( f 1 ( x ) , g ( x ) ) = 1 − ( f 1 ( x ) g ( x ) ) 2 f_1(x) = 1 - \exp(-4x_1) \cdot \sin^6(6 \pi x_1) \\ f_2(x) = g(x) \cdot h(f_1(x), g(x)) \\ g(x) = 1 + 9 \left(\frac{\sum_{i=2}^{n} x_i}{n-1}\right)^{0.25} \\ h(f_1(x), g(x)) = 1 - \left(\frac{f_1(x)}{g(x)}\right)^2 f1​(x)=1−exp(−4x1​)⋅sin6(6πx1​)f2​(x)=g(x)⋅h(f1​(x),g(x))g(x)=1+9(n−1∑i=2n​xi​​)0.25h(f1​(x),g(x))=1−(g(x)f1​(x)​)2

其中， x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x = (x_1, x_2, ..., x_n) x=(x1​,x2​,...,xn​)是决策变量向量， n n n是决策变量的维度。ZDT6函数的全局最优解是 x ∗ = ( 0 , 1 , . . . , 1 ) x^* = (0, 1, ..., 1) x∗=(0,1,...,1)，对应的目标函数值为 f ∗ = ( 1 − exp ⁡ ( − 4 ⋅ 0 ) ⋅ sin ⁡ 6 ( 6 π ⋅ 0 ) , 1 − ( 0 g ( x ) ) 2 ) f^* = (1 - \exp(-4 \cdot 0) \cdot \sin^6(6 \pi \cdot 0), 1 - \left(\frac{0}{g(x)}\right)^2) f∗=(1−exp(−4⋅0)⋅sin6(6π⋅0),1−(g(x)0​)2)。

2. DTLZ（Deb-Thiele-Laumanns-Zitzler）函数集：

   • DTLZ1-DTLZ9：这是一个包含多个函数的集合，每个函数都有不同的特性，用于测试多目标优化算法在不同情况下的表现。

3. WFG（WFG - Waterfall Function Group）函数集：

   • WFG1-WFG9：这个集合包含了一系列复杂的多目标优化问题，它们具有不同的特性，如平坦区域、窄带、局部最优等。

4. UF（Unconstrained Function）函数集：

   • UF1-UF10：这是一组无约束的多目标测试函数，用于评估多目标优化算法在没有约束条件的情况下的性能。

5. LSMOP（Large-Scale Multi-Objective Optimization Problem）函数集：

   • LSMOP1-LSMOP3：这个集合包含大规模多目标优化问题，用于测试算法在处理具有大量目标和决策变量的问题时的性能。

（1）DTLZ1-DTLZ9

（2）WFG1-WFG9

（3）UF1-UF10

（4）ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6

（5）LSMOP1-LSMOP3