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一、导数的定义
函数在一点处的导数与导函数
定义 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) （点 \(x_0 + \Delta x\) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) ；如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta \to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\) ，即
\[f'(x_0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} , \tag{1} \]也可记作 \(\left . y' \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} \right|_{x \to x_0}\) .
函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导有时也说成 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处具有导数或导数存在。
导数的定义式（1）也可以取不同的形式，常见的有
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{2} \]和
\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \cfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \tag{3} \]如果极限 （1）不存在就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处不可导。如果不可导的原因是由于 \(\Delta x \to 0\) 时，比式 \(\cfrac{\Delta y}{\Delta x} \to \infty\) ，为了方便起见，也往往说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大。
上面讲的是函数在一点处可导。如果函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内每点处都可导，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内可导。这时，对于任一 \(x \in I\) ，都对应着 \(f(x)\) 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数 \(y = f(x)\) 的导函数，记作 \(y'\) ，\(f'(x)\) ，\(\cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\) ，\(\cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}\) 。
在（1）式或（2）式中把 \(x_0\) 换成 \(x\) ，即得导函数的定义式：
\[y' = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]或
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} . \]注意：在以上两式中，虽然 \(x\) 可以取区间 \(I\) 内的任何数值，但在极限过程中，\(x\) 是常量，\(\Delta x\) 或 \(h\) 是变量。
函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 就是导函数 \(f'(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处的函数值，即
\[f'(x_0) = \left . f'(x) \right|_{x = x_0} . \]导函数 \(f'(x)\) 简称导数，而 \(f'(x_0)\) 是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数或导数 \(f'(x)\) 在点 \(x_0\) 处的值。
单侧导数
根据函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 的定义，导数
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 \(f-(x_0)\) 存在即 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左、右极限
\[\lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad 及 \quad \lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]都存在且相等。这两个极限分别称为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的左导数和右导数，记作 \(f'_- (x_0)\) 及 \(f'_+(x_0)\) ，即
\[f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} , \\ f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} . \]现在可以说，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左导数 \(f'_- (x_0)\) 及右导数 \(f'_+(x_0)\) 都存在且相等。
左导数和右导数统称为单侧导数。
如果函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f'_+(a)\) 及 \(f'_-(b)\) 都存在，那么就说 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上可导。
二、导数的几何意义
函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处的切线的斜率，即
\[f'(x_0) = \tan \alpha \]其中 \(\alpha\) 是切线的倾角。
如果 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大，那么这时曲线 \(y = f(x)\) 的割线以垂直于 \(x\) 轴的直线 \(x = x_0\) 为极限位置，即曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处具有垂直于 \(x\) 轴的切线 \(x = x_0\) .
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, y_0)\) 处的切线方程为
\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \]过切点 \(M(x_0, f(x_0))\) 且与切线垂直的直线叫做曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M\) 处的法线。如果 \(f'(x_0) \neq 0\) ，法线的斜率为 \(- \cfrac{1}{f'(x_0)}\) ，从而法线方程为
\[y - y_0 = - \cfrac{1}{f'(x_0)} (x - x_0) \]例 求等边双曲线 \(y = \cfrac{1}{x}\) 在点 \(\left( \cfrac{1}{2}, 2 \right)\) 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解：根据导数的几何意义知道，所求切线斜率为
由于 \(y' = \left( \cfrac{1}{x} \right)' = - \cfrac{1}{x^2}\) ，于是
\[k_1 = \left . - \cfrac{1}{x^2} \right|_{x = \frac{1}{2}} = -4 \]从而所求切线方程为
\[y - 2 = -4 \left( x - \cfrac{1}{2} \right) , 即 4 x + y - 4 = 0 \]所求法线斜率为
\[k_2 = - \cfrac{1}{k_1} = \cfrac{1}{4} \]于是所求法线方程为
\[y - 2 = \cfrac{1}{4} \left( x - \cfrac{1}{2} \right) , 即 2x - 8y + 15 = 0 \]例 求曲线 \(y = x^{\frac{3}{2}}\) 的通过点 \((0, -4)\) 的切线方程。
解：设切点为 \((x_0, y_0)\) ，则切线的斜率为
于是所求切线方程可设为
\[y - y_0 = \cfrac{3}{2} \sqrt{x_0} (x - x_0) \tag{4} \]因切点 \((x_0, y_0)\) 在曲线 \(y = x^{\frac{3}{2}}\) 上，所以有
\[y_0 = x_{0}^{\frac{3}{2}} \tag{5} \]一直切线通过点 \((0, -4)\) ，故有
\[-4 - y_0 = \cfrac{3}{2} \sqrt{x_0} (0 - x_0) \tag{6} \]联立（5）和（6）可解得 \(x_0 = 4, y_0 = 8\) ，代入（4）并化简。得所求切线方程为
\[3 x - y - 4 = 0 \]三、函数可导性与连续性的关系
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处可导，即
\[\lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) \]存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，
\[\cfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \alpha , \]其中 \(\alpha\) 为当 \(\Delta x \to 0\) 时的无穷小。上式两边同乘 \(\Delta x\) ，得
\[\Delta y = f'(x) \Delta x + \alpha \Delta x \]由此可见，当 \(\Delta x \to 0\) 时，\(\Delta y \to 0\) .这就是说，函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处是连续的。
所以，如果函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处可导，那么函数在该点必连续。
另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。