高等数学 1.7 无穷小的比较

标签：1.7 无穷小 beta cfrac lim alpha 高等数学 sim

定义：
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 0\) 那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta = o(\alpha)\) ；
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \infty\) ，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小；
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\) ，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小；
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0, k > 0\) ，那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小；
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 1\) ，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是 等价无穷小 ， 记作 \(\alpha \sim \beta\)；
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况。

例1 证明：当 \(x \to 0\) 时，\(\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \cfrac{1}{n} x\)
证：因为

\[\begin{align*} \lim_{x \to 0} \cfrac{\sqrt[n]{1 + x} - 1}{\cfrac{1}{n} x} &= \lim_{x \to 0} \cfrac{(\sqrt[n]{1 + x})^n - 1}{\cfrac{1}{n} x \left[ \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \cdots + 1\right]} \\ &= \lim_{x \to 0} \cfrac{n}{\sqrt[n]{(1 + x)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + x)^{n - 2}} + \cdots + 1} = 1 \end{align*} \]

关于等价无穷小，有以下两个定理：

定理1：\(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小的充分必要条件为 \(\beta = \alpha + o(\alpha)\) .

例2 因为当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x, \tan x \sim x, \arcsin x \sim x, 1- \cos x \sim \cfrac{1}{2} x^2\) ，所以当 \(x \to 0\) 时有

\[\begin{align*} \sin x &= x + o(x), \tan x = x + o(x), \\ \arcsin x &= x + o(x), 1 - \cos x = \cfrac{1}{2} x^2 + o(x^2) \end{align*} \]

定理2：设 \(\alpha \sim \tilde{\alpha} , \beta \sim \tilde{\beta} ,\) ，且 \(\lim \cfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}\) 存在，则

\[\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \lim \cfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} . \]

定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子或分母都可用等价无穷小替换。

注意：若分子或分母为若干因子的乘积，可对其中一个或多个因子做等价无穷小替换。

例3 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\tan{2x}}{\sin{5x}}\) .
解：当 \(x \to 0\) 时，\(\tan{2x} \sim 2x, \sin{5x} \sim 5x\) ，所以

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{\tan{2x}}{\sin{5x}} = \lim_{x \to 0} \cfrac{2x}{5x} = \cfrac{2}{5} \]

例4 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x^3 + 3x}\) .
解：当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\) ，所以

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x^3 + 3x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{ x}{x(x^2 + 3)} = \lim_{x \to 0} \cfrac{1}{x^2 + 3} = \cfrac{1}{3} . \]

例5 求\(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{(1 + x^2)^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1}\) .
解：当 \(x \to 0\) 时，\((1 + x^2)^{\frac{1}{3}} - 1 \sim \cfrac{1}{3} x^2\) ，\(\cos x - 1 \sim - \cfrac{1}{2} x^2\) ，所以

\[\lim_{x \to 0} \cfrac{(1 + x^2)^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \cfrac{\cfrac{1}{3} x^2}{- \cfrac{1}{2} x^2} = - \cfrac{2}{3} \]

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