目录
数列极限的定义
数列的概念
如果按照某一法则，对每个 \(n \in \mathbb{N}_+\) ，对应着一个确定的实数 \(x_n\) ，这些实数 \(x_n\) 按照下标 \(n\) 从大到小排列得到的一个序列
\[x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots, \]就叫数列，简记为 \(\{ x_n \}\)
数列中的每一个数叫做数列的项，第 \(n\) 项 \(x_n\) 叫做数列的一般项（或通项）。
数列极限的定义
定义：设 \(\{ x_n \}\) 为一数列，如果存在常数 \(a\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) （不论它多么小），总存在正整数 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 时，不等式
\[\left| x_n - a \right| < \varepsilon \]都成立，那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\{ x_n \}\) 的极限，或者称数列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(a\) 记为
\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \]或
\[x_n \to a \quad (n \to \infty) 。 \]收敛数列的性质
定理1（极限的唯一性）： 如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛，那么它的极限唯一。
证明：用反证法。假设同时有 \(x_n \to a\) 及 \(x_n \to b\) ，且 \(a < b\) 。取 \(\varepsilon = \cfrac{b - a}{2}\) 。因为 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) ，故 \(\exists\) 正整数 \(N_1\) ，当 \(n > N_1\) 时，不等式
\[\vert x_n - a \vert < \cfrac{b - a}{2} \tag{1} \]都成立。同理，因为 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = b\) ，故 \(\exists\) 正整数 \(N_2\) ，当 \(n > N_2\) 时，不等式
\[\vert x_n - b \vert < \cfrac{b - a}{2} \tag{2} \]都成立。取 \(N = \max \{ N_1 , N_2 \}\) ，则当 \(n > N\) ，时，（1）式及（2）式会同时成立，但由（1）式有 \(x_n < \cfrac{a + b}{2}\) ，由（2）式有 \(x_n > \cfrac{a + b}{2}\) 。这是不可能的。这矛盾证明了本定理的断言。
定理2（收敛数列的有界性）：如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛，那么数列 \(\{ x_n \}\) 一定有界。
证明：因为数列 \(\{ x_n \}\) 收敛，设 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) 。根据数列极限的定义，对于 \(\varepsilon = 1\) ，\(\exists\) 正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，不等式
\[\vert x_n - a \vert < 1 \]都成立。于是，当 \(n > N\) 时，
\[| x_n | = | (x_n - a) + a | \leqslant | x_n - a | + | a | < 1 + | a | . \]取 \(M = \max{ \{ |x_1|, |x_2|, \cdots, |x_N|, 1+|a| \} }\) ，那么数列 \(\{ x_n \}\) 中的一切 \(x_n\) 都满足不等式
\[| x_n | \leqslant M . \]这就证明了数列 \(\{ x_n \}\) 是有界的。
注：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
定理3（收敛数列的保号性）：如果 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) ，且 \(a > 0\) （或 \(a < 0\)），那么存在正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，都有 \(x_n > 0\) （或 \(x_n < 0\)）。
证明：就 \(a > 0\) 的情形证明。由数列极限的定义，对 \(\varepsilon = \cfrac{a}{2} > 0\) ，\(\exists\) 正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时，有
\[| x_n - a| < \cfrac{a}{2} \]从而
\[x_n > a - \cfrac{a}{2} = \cfrac{a}{2} > 0 . \]推论：如果数列 \(\{ x_n \}\) 从某项起有 \(x_n \geqslant 0\) （或 \(x_n \leqslant 0\)），且 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) ，那么 \(a \geqslant 0\) （或 \(a \leqslant 0\)）。
定理4（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(a\) ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 \(a\) 。
证明：由于 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) ，故 \(\forall \varepsilon > 0\) ，\(\exists\) 正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时， \(| x_n - a | < \varepsilon\) 成立。
取 \(K = N\) ，则当 \(k > K\) 时，\(n_k > n_K = n_N \geqslant N\) 。于是 \(| x_{n_k} - a | < \varepsilon\) 。这就证明了 \(\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = a\) 。证毕。