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一、映射
映射概念
定义 设 \(X\) , \(Y\) 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\) ，使得对 \(X\) 中每个元素 \(x\) ，按法则 \(f\) ，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作
\[f:X \rightarrow Y , \]其中 \(y\) 称为元素 \(x\) （在映射 \(f\) 下）的像，并记作 \(f(x)\) ，即
\[y=f(x) \]而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) （在映射 \(f\) 下）的一个原像；集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域，记作 \(D_f\) ，即 \(D_f = X\) ；\(X\) 中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域，记作 \(R_f\) 或 \(f(X)\) ，即
\[R_f = f(X) = \{ f(x) \vert x \in X \} \]
需要注意的是
- 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 \(X\) ，即定义域 \(D_f = X\) ；集合 \(Y\) ，即值域范围 \(R_f \subset Y\) ；对应法则 \(f\) ，使对每个 \(x \in X\) ，有唯一确定的 \(y = f(x)\) 与之对应。
- 对每个 \(x \in X\) ，元素 \(x\) 的像 \(y\) 是唯一的；而对每个 \(y \in R_f\) 元素 \(y\) 的原像不一定是唯一的；映射 \(f\) 的值域 \(R_f\) 是 \(Y\) 的一个子集，即 \(R_f \subset Y\) ，不一定 \(R_f = Y\) 。
设 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射，若 \(R_f = Y\) ，即 \(Y\) 中任意元素 \(y\) 都是 \(X\) 中某元素的像，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射；若对 \(X\) 中任意两个不同元素 \(x_1 \neq x_2\) 它们的像 \(f(x_1) \neq f(x_2)\) ，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射；若映射 \(f\) 既是单射，又是满射，则称 \(f\) 为一一映射（或双射）。
逆映射与复合映射
设 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的单射，则由定义，对每个 \(y \in R_f\) ，有唯一的 \(x \in X\) ，适合 \(f(x) = y\) ，于是，我们可以定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(\mathrm{g}\) ，即
\[\mathrm{g}:R_f \rightarrow X , \]对每个 \(y \in R_f\) ，规定 \(\mathrm{g} (y) = x\) ，这 \(x\) 满足 \(f(x) = y\) 。这个映射 \(\mathrm{g}\) 称为 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\) ，其定义域 \(D_{f^{-1}} = R_f\) ,值域 \(R_{f^{-1}} = X\) 。
根据上述定义，只有单射才存在逆映射。
设有两个映射
\[\mathrm{g} : X \rightarrow Y_1 , f : Y_2 \rightarrow Z , \]其中 \(Y_1 \subset Y_2\) ,则由映射 \(\mathrm{g}\) 和 \(f\) 可以定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则，它将每个 \(x \in X\) 映射成 \(f [ \mathrm{g} (x) ] \in Z\) 。显然，这对应法则确定了一个从\(X\) 到 \(Z\) 的映射，这个映射称为映射 \(\mathrm{g}\) 和 \(f\) 构成的复合映射，记作 \(f \circ \mathrm{g}\) ，即
\[f \circ \mathrm{g} : X \rightarrow Z , (f \circ g)(x) = f[g(x)] , x \in X . \]由复合映射的定义可知，映射 \(\mathrm{g}\) 和 \(f\) 构成复合映射的条件是：\(\mathrm{g}\) 的值域 \(R_{\mathrm{g}}\) 必须包含在 \(f\) 的定义域内，即 \(R_{\mathrm{g}} \subset D_f\) 。否则，不能构成复合映射。由此可知，映射 \(\mathrm{g}\) 和 \(f\) 的复合是有顺序的，\(f \circ \mathrm{g}\) 有意义并不表示 \(\mathrm{g} \circ f\) 也有意义。即使 \(f \circ \mathrm{g}\) 和 \(\mathrm{g} \circ f\) 都有意义，复合映射\(f \circ \mathrm{g}\) 与 \(\mathrm{g} \circ f\) 也未必相同。
二、函数
函数概念
定义 设数集 \(D \subset \mathbb{R}\) ，则称映射 $ f:D \rightarrow \mathbb{R} $ 为定义在 \(D\) 上的函数，通常简记为
\[y = f(x) , x \in D , \]其中 \(x\) 称为自变量， \(y\) 称为因变量， \(D\) 称为定义域，记作 \(D_f\) ，即 \(D_f = D\) .
函数定义中，对每个 \(x \in D\) ，按对应法则 \(f\) ，总有唯一确定的值 \(y\) 与之对应，这个值称为函数 \(y\) 在 \(x\) 处的 函数值 ，记作 \(y = f(x)\) 。因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值 \(f(x)\) 的全体所构成的集合称为函数 \(f\) 的值域，记作 \(R_f\) 或 \(f(D)\) ，即
\[R_f = f(D) = \{ y \vert y = f(x) , x \in D \} \]需要指出，按照上述定义，记号 \(f\) 和 \(f(x)\) 的含义是有区别的：前者表示自变量 \(x\) 和因变量 \(y\) 之间的对应法则，而后者表示与自变量 \(x\) 对应的函数值。
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在 \(\mathbb{R}\) 内，因此构成函数的要素是：定义域 \(D_f\) 及对应法则 \(f\) 。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。
函数的几种特性
（1）函数的有界性
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\) ，数集 \(X \subset D\) 。如果存在数 \(K_1\) ，使得
\[f(x) \leqslant K_1 \]对任一 \(x \in X\) 都成立，那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界，而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界。
如果存在数 \(K_2\) ，使得
\[f(x) \geqslant K_2 \]对任一 \(x \in X\) 都成立，那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界，而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界。
如果存在正数 \(M\) ，使得
\[\vert f(x) \vert \leqslant M \]对任一 \(x \in X\) 都成立，那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界。如果这样的 \(M\) 不存在，就称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上无界；这就是说，如果对于任何正数 \(M\) ，总存在 \(x_1 \in X\) ，使 \(| f(x_1) | > M\) ，那么函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上无界。
（2）函数的单调性
设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(D\) ，区间 \(I \subset D\) 。如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 及 \(x_2\) ，当 \(x_1 < x_2\) 时，恒有
\[f(x_1) < f(x_2) \]那么称函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调增加的。
如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 及 \(x_2\) ，当 \(x_1 < x_2\) 时，恒有
\[f(x_1) > f(x_2) \]那么称函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
（3） 函数的奇偶性
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称。如果对于任一 \(x \in D\) ，
\[f(-x) = f(x) \]恒成立，那么称函数 \(f(x)\) 为偶函数。
如果对于任一 \(x \in D\) ，
\[f(-x) = -f(x) \]恒成立，那么称函数 \(f(x)\) 为奇函数。
偶函数的图形关于 \(y\) 轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的。
（4）函数的周期性
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\) 。如果存在一个正数 \(l\) ，使得对于任一 \(x \in D\) 有 \(x \pm l \in D\) ，且
\[f(x \pm l) = f(x) \]恒成立，那么称函数 \(f(x)\) 为周期函数， \(l\) 称为 \(f(x)\) 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期
反函数与复合函数
反函数
作为逆映射的特例，有以下反函数的概念
设函数 \(f:D \rightarrow f(D)\) 是单射，则它存在逆映射 \(f^{-1} : f(D) \rightarrow D\) ，称此映射 \(f^{-1}\) 为函数 \(f\) 的反函数。
按此定义，对每个 \(y \in f(D)\) ，有唯一的 \(x \in D\) ，使得 \(f(x) = y\) ，于是有
\[f^{-1} (y) = x . \]反函数 \(f^{-1}\) 的对应法则是完全由函数 \(f\) 的对应法则所确定的。
一般地，\(y = f(x),x \in D\) 的反函数记成 \(y = f^{-1} (x),x \in f(D)\) 。
若 \(f\) 是定义在 \(D\) 上的单调函数，则 \(f:D \rightarrow f(D)\) 是单射，于是 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}\) 必定存在，且容易证明 \(f^{-1}\) 也是 \(f(D)\) 上的单调函数。
把函数 \(y = f(x)\) 和它的反函数 \(y = f^{-1} (x)\) 的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线 \(y = x\) 是对称的。
复合函数
复合函数是复合映射的一种特例，其概念可如下表述：
设函数 \(y = f(u)\) 的定义域为 \(D_f\) ，函数 \(u = \mathrm{g}(x)\) 的定义域为 \(D_{\mathrm{g}}\) ，且其值域 \(R_{\mathrm{g}} \subset D_f\) ，则由下式确定的函数
称为由函数 \(u = \mathrm{g}(x)\) 与函数 \(y = f(u)\) 构成的复合函数，它的定义域为 \(D_{\mathrm{g}}\) ，变量 \(u\) 称为中间变量。
函数 \(g\) 与 \(f\) 构成的复合函数，即按“先 \(g\) 后 \(f\)”的次序复合的函数，通常记为 \(f \circ g\) ，即
\[(f \circ \mathrm{g})(x) = f[\mathrm{g}(x)] . \]与复合映射一样，\(\mathrm{g}\) 与 \(f\) 能构成复合函数 \(f \circ \mathrm{g}\) 的条件是：函数 \(\mathrm{g}\) 的值域 \(R_{\mathrm{g}}\) 必须包含于函数 \(f\) 的定义域 \(D_f\) ，即 \(R_{\mathrm{g}} \subset D_f\) 。否则，不能构成复合函数。
函数的运算
设函数 \(f(x)\) ， \(g(x)\) 的定义域依次为 \(D_f\) ， \(D_{\mathrm{g}}\) ，\(D = D_f \cap D_{\mathrm{g}} \neq \varnothing\) ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
\[和（差）f \pm \mathrm{g} : (f \pm \mathrm{g} )(x) = f(x) \pm \mathrm{g} (x) , x \in D ； \]\[积 f \cdot \mathrm{g} :(f \cdot \mathrm{g} ) (x) = f(x) \cdot \mathrm{g} (x),x \in D； \]\[商 \cfrac{f}{\mathrm{g}} : \left( \cfrac{f}{\mathrm{g}} \right) (x) = \cfrac{f(x)}{\mathrm{g}(x)} , x \in D \backslash \{ x | \mathrm{g}(x) = 0, x \in D\} . \]初等函数
基本初等函数
幂函数：\(f = x^{\mu} (\mu \in \mathbb{R} 是常数)\) ，
指数函数：\(y = a^x,(a > 0 且 a \neq 1)\) ，
对数函数： \(y = \log_a x (a > 0 且 a \neq 1，特别的当 a = \mathrm{e} 时，记为 y = \ln x)\) ，
三角函数： \(y = \sin x , y = \cos x , y = \tan x 等\) ，
反三角函数： \(y = \arcsin x , y = \arccos x , y = arctan x 等\) 。
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限词的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
双曲函数与反双曲函数
双曲正弦：\(\sinh x = \cfrac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}\)
双曲余弦：\(\sinh x = \cfrac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}\)
双曲正切：\(\tanh x = \cfrac{\sinh x}{\cosh x} = \cfrac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}\)
双曲余切： \(\coth x = \cfrac{1}{\tanh x}\)
公式
\[\sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \]\[\sinh (x - y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \]\[\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \]\[\cosh (x - y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \]\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \]\[\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x \]\[\cosh 2x = \cosh^2 x \sinh^2 x \]反双曲正弦：\(y =\mathrm{arsinh} x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})\)
反双曲余弦：\(y =\mathrm{arcosh} x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1})\)
反双曲正切：\(y =\mathrm{artanh} x = \cfrac{1}{2} \ln{\cfrac{1 + x}{1 - x}}\)
反双曲余切：\(y =\mathrm{arcoth} x =\cfrac{1}{2} \ln{\cfrac{x + 1}{x - 1}}\)