首先，我们应该了解自然对数 \(e\) 的定义：
\[e^x=\lim\limits_{h\to 0}(1+hx)^{\frac{1}{h}} \]这是它的一个定义，他的引出貌似来自于一个有趣的问题，假如你有 \(100\) 块钱，有种理财方式是每过一年使存的钱增加 \(r=d\%\)，一种是把一年分成 \(2\) 个半年，每半年增加 \(\frac{d}{2}\%\)，这将比前者赚的更多。
事实上，你分的越多，赚的越多，那么如果我们分的数量趋于无限，我们期望到明年开始时能有多少钱呢？我们将式子写下来：
\(w=100\times\lim\limits_{n\to \infty} (1+\frac{r}{n})^n\)
然后我们用 \(h\) 替换 \(n\)，就有了上面的式子。那么接下来先看对数函数，对于 \(a^x=b\) 这个方程，我们的解就是对数函数，即 \(\log_a(b)\)。那么接下来有几个显然的式子：
1.\(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\)。
2.\(\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)\)。
3.\(\log(a^b)=b\log(a)\)。
4.\(\log_a(c)=\frac{\log_b(c)}{\log_b(a)}\)。
只有第四个式子需要动点脑筋。我们设 \(a^x=c\)，那么 \(\log_b(a^x)=x\log_b(a)\)，于是即可求得 \(x\)。记这个公式可以记等式右边的底数都是 \(b\)，上面是 \(c\)，下面是 \(a\) 就好了。
然后，获得了这些知识，就可以对对数函数进行激动人心的求导了！
我们考虑求 \(\lim\limits_{h\to 0} \frac{\log_b(x+h)-\log_b(x)}{h}\)。
首先，注意到我们可以将减法转换，将分子变为 \(\log_b(1+\frac{h}{x})\)，然后注意到分母除以了 \(h\)，于是我们可以将 \(\frac{1}{h}\) 放到指数，那么就变成了 \(\log_b((1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}})\)，好，现在 \(e\) 就摆在了我们眼前，于是我们的结果为 \(\log_b(e^{\frac{1}{x}})\)，再化简可得 \(\frac{1}{x}\log_b(e)\)。这时我们将对数函数的底数换为 \(e\)，就得到了优美的导数：
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x)=\frac{1}{x} \]对于一般底数的 \(\log_b(e)\)，我们进行一个换底，将其变为 \(\frac{1}{\ln(b)}\)。
然后，我们考虑对于对数函数的反函数，指数函数求导。我们不需要直接求，因为我们可以将 \(y=b^x\) 变为 \(x=\log_b(y)\)，那么我们知道 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y\ln(b)}\)，然后我们反转分子分母，可得 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y\ln(b)\) 即 \(b^x\ln(b)\)，聪明的你会发现 \(y=e^x\) 的导数就是他本身。
接下来是一些奇奇怪怪的导数和极限，比如说 \(y=e^{kx}\)，运用基础的链式求导法则可以得到 \(ke^{kx}\)。然后还有一个经典的极限，\(\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}\)，这其实是一个伪装的导数，即 \(\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-e^0}{h}\)，这是 \(e^x\) 在 \(x=0\) 时的导数，那么其结果为 \(1\)。
然后还可以用对数函数结合神奇的隐函数求导去求一些别的导数，如 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^{\sin(x)}\)，令 \(y=x^{\sin(x)}\)，那么 \(\ln(y)=\sin(x)\ln(x)\)，然后我们分别求导，并写下：
\[\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos(x)\ln(x)+\frac{\sin(x)}{x} \]然后我们将 \(y\) 用 \(x\) 带入，于是就求出答案了。
也许并没有结束。。
如有错误欢迎指出 qwq！
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