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什么是对数

对数用 log 符号来表示。根据底数的不同，log 可以变换成 lg、ln。lg 是以 10 为底的对数，ln 是以 e 为底的对数。

对数长成下面这个样子，是一个以 a 为底，y 为真数的对数，结果等于 x。条件：a > 0，且 a ≠ 1。

\[log{_a}^y=x \]

根据底数的条件，对数的图像有两种：

指数与对数可以互相转换，假如一个对数是：log₂⁸=3。那么，指数就是：2³=8。所谓的“真数”就是指数的结果，揪着这一个真数就很迅速地实现指数与对数之间的转换。

1. lg¹⁰⁰=2 --> 10²=100；
2. log₃²⁷=3 --> 3³=27。

对数的公式

log_{a^M*N=loga^M+loga^N}

可以借助指数的公式来理解对数的公式。1️⃣令 x = log_a^M2️⃣令 y = log_a^N：

1. M = a^x
2. N = a^y

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。所以，a^x+a^y = a^x*y=M*N：

\[M*N=a^{x*y}\\ log{_a}^{M*N}=x*y\\ log{_a}^{M*N}=log{_a}^M+log{_b}^N \]

把上面公式中第一步（指数）转换成对数，再把前面令的变量替换成相应的对数，最后得出的结果如本小节标题所示。

下面这个公式：log_a^M/N=log_a^M-log_a^N 的推导步骤如上。

log_a^Mn=nlog_a^M

重点说一说这个对数公式。假如，log₃²⁷ 可以写成 log₃³³，把 3 最高的那个 3 拿到 log 前面：3log_3³。而 log_3³ = 1，所以 3log_3³ = 3。

而 log₃²⁷ 就是 3 的多少次方等于 27，当然是 3³=27，即 log₃²⁷ = 3log_3³ = 3。

以 3 为底，27 为真数的对数是：log₃²⁷

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