是坐标转换，也是旋转——矩阵变换

坐标转换

一个向量可以被表示为\(v=xi+yj+zk\)，其中\(i\)，\(j\)，\(k\)为坐标系的基向量：

\(i= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\)，\(j= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\)，\(k= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\)

基向量可写成矩阵的方式：

\(\begin{bmatrix} i_x&i_y&i_z\\ j_x&j_y&j_z\\ k_x&k_y&k_z \end{bmatrix}\)

一个坐标系可以使用任意线性无关的基向量构成，如\(l\)，\(m\)，\(n\)

使用由\(l\)，\(m\)，\(n\)构成的矩阵乘以一个任意向量\(\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\)：

\(\begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_x&l_y&l_z\\ m_x&m_y&m_z\\ n_x&n_y&n_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x&al_y+bm_y+cn_y&al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix}\)

即

\(\begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x\\ al_y+bm_y+cn_y\\ al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix}=a \begin{bmatrix} l_x\\ l_y\\ l_z \end{bmatrix}+b \begin{bmatrix} m_x\\ m_y\\ m_z \end{bmatrix}+c \begin{bmatrix} n_x\\ n_y\\ n_z \end{bmatrix}= al+bm+cn\)

最终得到了由基向量表示的结果，由此可见

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，若有\(aM=b\)，我们就可以说，\(M\)将\(a\)转换到\(b\)。

从另一个角度看，x，y，z分量分别代表了向量在每个基向量方向上分别“走了多少个单位”，变换的只是基向量的方向，而在每个方向上走多远却没有改变。

旋转

使用单位且正交的基向量\(x'\)，\(y'\)，\(z'\)构成新的坐标系，使用基向量构成的矩阵乘以向量\(v\)

\(\begin{bmatrix} v_x&v_y&v_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_x&x_y&x_z\\ y_x&y_y&y_z\\ z_x&z_y&z_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} v'_x&v'_y&v'_z \end{bmatrix}\)

可以发现，在矩阵变换向量的过程中，也完成了旋转。

应用

首先确定一个\(forward\)正方向，利用世界空间的\(up\)方向\((0,1,0)\)通过叉积运算得到与\(forward\)正交的\(right\)方向，然后再利用计算得到的\(right\)方向通过叉积运算得到正确的\(up\)方向。

float3 forward = direction;
half isParallel = step(0.999, forward.y);
float3 up = isParallel * float3(0, 0, 1) + (1 - isParallel) * float3(0, 1, 0);
float3 right = normalize(cross(up, forward));
up = normalize(cross(forward, right));

在\(up\)的计算中，为了防止\(forward\)方向与世界空间的\(up\)方向平行得到错误的计算，加入判断选择需要使用的向量。

例如可以使用计算得到的三个基向量变换模型空间的顶点位置，以此达到旋转模型的目的：

float3 newPos = positionOS.x * right + positionOS.y * up + positionOS.z * forward;

或者构成矩阵用以旋转向量：

float3x3 rotationMatrix = float3x3(right, up, forward);

在实际使用过程中注意左乘和右乘的区别，即行向量与列向量的使用区别：

\(\begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_x&l_y&l_z\\ m_x&m_y&m_z\\ n_x&n_y&n_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x&al_y+bm_y+cn_y&al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} l_x&m_x&n_x\\ l_y&m_y&n_y\\ l_z&m_z&n_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} al_x+bm_x+cn_x\\ al_y+bm_y+cn_y\\ al_z+bm_z+cn_z \end{bmatrix}\)

在Unity Shader中，float3x3(right, up, forward)表示将向量以行向量的方式组成矩阵，故变换向量时使用mul(vector, rotationMatrix)方式计算，若rotationMatrix以列向量方式存储，故变换向量时使用mul(rotationMatrix, vector)方式计算。

参考

《3D数学基础：图形与游戏开发》