\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Sou}{\mathcal E} \]
XII.静电场
XII.I.电荷
电荷的基本单元为 \(e=1.602\times10^{-19}\Co\) 的基元电荷。
电荷守恒定律：没有净电荷出入边界的系统，正负电荷代数和不变。
- 电荷可以产生或消失：光子可以被转化“产生”一对正负电子，正负电子也可以“湮灭”成为光子。
- 极罕见地，电子可以衰变为中微子，但是因为过于罕见所以在统计学意义下可以认为电荷守恒仍成立。
电量与运动状态无关，即电荷的 相对论不变性。
XII.II.库仑定律与叠加原理
静电学 是研究静止电荷相互作用的学科。其核心为 Coulomb 定律（真空形式）
\[\b F_{21}=k\dfrac{q_1q_2}{r_{21}^2}\b e_{21} \]其中 \(\b F_{21}\) 为 \(q_2\) 受 \(q_1\) 的力，\(\b e_{21}\) 为 \(q_1\) 向 \(q_2\) 的单位矢量。
\(k=8.990\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2\approx9\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2\)。往往使用 真空介电常量（真空电容率）\(k=\dfrac1{4\pi\vare_0}\) 来定义 \(k\)，此时 Coulomb 公式变为
\[\b F_{21}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r_{21}^2}\b e_{21} \]\(\vare_0=8.85\times10^{-12}\Co^2/(\Ne\cdot\Me^2)=8.85\times10^{-12}\Fa/\Me\)
空气中，Coulomb 定律仍可以极小误差成立。
电力叠加原理：两点电荷间作用力不因第三电荷存在而改变。
XII.III.电场与电场强度
电场强度（简称电场）被下式所定义：
\[\b E=\dfrac{\b F}{q} \]其中 \(\b F\) 是试探电荷 \(q\) 置于场中某处而受力。
由电力叠加原理可知电场叠加原理。
XII.IV.静止的点电荷的电场及其叠加
静止点电荷周围的电场为
\[\b E=\dfrac{q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r \]其中 \(\b e_r\) 是自点电荷指向某处的单位向量。
若是带电体，则要使用积分式，即
\[\b E=\int\d\b E=\int\dfrac{\d q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r \]相隔一定距离的等量异号点电荷，若二者间距远小于其一到待讨论场点的距离时，此对点电荷被称作 电偶极子。
令 \(\b l\) 为 \(-q\) 至 \(+q\) 的矢量。令偶极子中心到偶极子中垂线上一点 \(P\) 的距离为 \(r\)，\(-q,+q\) 到 \(P\) 的矢量分别为 \(\b r_-,\b r_+\)，则
\[\b E=\dfrac{q(\b r_+-\b r_-)}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3} \\=-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3} \]当 \(r\gg l\) 时，\(\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}\approx r\)，因此上式
\[\approx-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0r^3} \]其中，\(q\b l\) 是电偶极子本身性质，因此可以以一个名词电偶极矩（电矩）称呼之，即 \(\b p=q\b l\)。那么公式为：在电偶极子中垂线上较远处，有
\[\b E=-\dfrac{\b p}{4\pi\vare_0r^3} \]电偶极矩有其扩展。例如，在系统电中性的场合，可以定义电多极矩
\[\b p=\sum q_i\b r_i \]参考点任意选择，\(\b r_i\) 为自参考点指向系统中某一电荷的向量。可以发现，电偶极子的电偶极矩是电多极矩的一个特殊情况。而当非电中性的场合，参考点不能任意选择，此时有一些约定俗成的选点，例如质子的电矩一般参考点选择质心。
电多极矩的用处目前还未知。
XII.V.电场线和电通量
穿过一个面元 \(\d S\) 的电通量元 \(\d\Phi_e\)，被定义为 \(E\d S_\perp\)，其中 \(\d S_\perp\) 是垂直电场的投影面元。令 \(\d\b S=\b e_S\d S\)，其中 \(\b e_S\) 为面的法向量（显然，此时我们考虑有向面元，因此法向量有着确定的某一方向），则 \(\d\Phi_e=\b E\cdot\d\b S\)。穿过整个有向曲面的电通量
\[\Phi_e=\int\d\Phi_e=\int\b E\cdot\d\b S \]点电荷电场在刨除原点的场合下是保守场；由 Gauss 定律，保守场上不包含原点的闭曲面积分为零，而包含原点的闭曲面——采用球面积分——是
\[\Phi_e=\oint\b E\cdot\d\b S=\oint\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}\d S=\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}4\pi r^2=\dfrac q{\vare_0} \]这里可以看到为什么真空介电常数与 \(k\) 的换算时带入了 \(4\pi\) 的量：为了达到这一结果。
进而有推论：若干点电荷构成的场中，闭曲面的电通量为
\[\Phi_e=\dfrac1{\vare_0}\sum q_{\text{in}} \]其中 \(q_{\text{in}}\) 取遍闭曲面内部点电荷。
由 Coulomb 定律可以推出 Gauss 定律；反之亦然。因此，在静电学中，两定律等价。实验表明，Gauss 定律在电荷运动时仍然有效，因此是普适的定律，而 Coulomb 定律不然。
Gauss 定律可以被用于求电场强。这需要电荷分布有某种程度的对称性，进而电场有对称性。选取合适的封闭积分面（称作 Gauss 面）使得积分 \(\oint\b E\cdot\d\b S\) 中的 \(\b E\) 能以标量提出，进而由 Gauss 定理可以求出 Gauss 面上处处场强，通过参数调整 Gauss 面（这一点体现对称性）求出全空间上场强。
- 单点的场合，Gauss 面选取球面，即得 Coulomb 定律。
- 均匀带电球面的场合，Gauss 面仍选取球面，得到均匀球面在球面外电场分布就如同点电荷一般，而在球面内处处为零。
- 均匀带电球壳看作众多均匀带电球面的复合。
- 无限长均匀带电直线的场合，可以选圆筒作为 Gauss 面，此时圆筒的上下底面均无通量。
- 平面同理。
- 两有间距的平行平面，此时不能直接 Gauss 处理，但是可以用电场叠加原理处理。
XIII.电势
XIII.I.静电场的保守性
电场是保守场，保守场即可定义势能：两点间的任意线积分总等于二者势能差。换言之，环路线积分恒为零，是保守性的另一说法，即静电场环路定理。
XIII.II.电势差和电势
电势需要指定一点的电势为零，该点被称作电势零点。有限区域的电荷，此时电势零点常选择无穷远处；地面常常也被认为是零电势。
电势的单位等于电场强度乘以距离（线积分的场合），也等于功除以电量，因此有
\[1\Vo=1\Jo/\Co \]需要注意的是，例如无限长导线的场合，电荷分布于无限区域内，此时不能选择无穷远处为零点——可以选择距导向某距离处为零点。
点电荷电势公式为
\[\varp=\dfrac q{4\pi\vare_0r} \]带电体的电势就关于整体按上式积分即可。
XIII.III.电势叠加原理
一个电荷系的电场中任一点的电势，等于每一个带电体单独存在时该点电势之和，这被称作电势叠加原理。
等电势点组成的曲面被称作等势面。等势面与电场线处处正交。
XIII.IV.电势梯度
电场强度总是沿着电势变化速率最快的方向。因此有
\[\b E=-\nabla\varp \]对于一个带电体，因为电势是标量，所以可以关于带电体直接标量积分求得电势，再求梯度得到电场强度；然而，若要直接求电场强度，则需要矢量积分，常常是麻烦的。
XIII.V.电荷在外电场中的静电势能
静电场中的电荷存在静电势能（简称 电势能）；沿电场线移动时，电势能减少量等于电场力做功。电势能
\[W=q_0\varp \]即电势能等于电量乘电势。
电势能是电荷与电场相互作用时共有的能量，是一种相互作用能。
电势能的单位是 Joule。或者，一单位电子在 \(1\Vo\) 电场下具有的能量被称为一电子伏特，即
\[1\eV=1.60\times10^{-19}\Jo \]电矩为 \(\b p\) 的电偶极子在均匀外电场 \(\b E\) 中拥有电势能 \(-\b p\cdot\b E\)。
XIII.VI.电荷系的静电能
将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，其间静电力所做功称为电荷系在起始状态下所具有的 静电能，或相互作用能（简成 互能）
两个距离为 \(r\)、电量分别为 \(q_1,q_2\) 的电荷，其所含互能
\[W_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r} \]代入点电荷电势公式，可知
\[W_{12}=q_1\varp_1=q_2\varp_2 \]为对称，写成
\[W_{12}=\dfrac12(q_1\varp_1+q_2\varp_2) \]的式子。
归纳可得，\(n\) 个点电荷组成的电荷系下互能为
\[W=\dfrac12\sum q_i\varp_i \]其中 \(\varp_i\) 为 \(q_i\) 以外其它电荷共同产生的在 \(q_i\) 处的电势。
而如果是单一带电体而非多点电荷系统，其静电能即为切割成静电元并无限分散时的功，此时也称（静电）自能。
静电自能公式为
\[W=\dfrac12\int\varp\d q \]其中 \(\varp\) 为带电体在 \(\d q\) 处产生的电势（因为 \(\d q\) 是无限小电荷元所以不用忽略自身电势）。
实际场合下，常常需要将一部分电荷摘出体系考虑，此时该电荷以外的其它电荷产生的电场就是外电场，而该电荷所持电势能其实本质上是该电荷与外电场电荷系共同拥有之互能。
XIII.VII.静电场的能量
静电能储存于电场中。
表面均匀带电、半径为 \(R\)、总电荷为 \(Q\) 的橡皮气球，因为电荷间斥力会膨胀。初态静电能为
\[W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R} \]膨胀 \(\d R\) 的半径后，会发现
\[-\d W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0(R+\d R)} \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R+\left(\dfrac{\d R}R\right)^2-\dots) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R \]因为均匀带电球体内部电场强度为零，且球体膨胀不改变球体外部电场分布，仅仅清零了 \(\d R\) 球壳内的电场，所以可以认为 \(\d R\) 的球壳内存储了 \(\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R\) 的能量。\(\d R\) 球壳内的电场强度为 \(E=\dfrac Q{4\pi\vare_0R^2}\)，因此有
\[\d W=\dfrac{\vare_0E^2}2\d V \]其中 \(\d V=4\pi R^2\d R\) 是球壳体积。球壳内各处电场强度大小几乎相同，因此可以引入 电场能量密度 的概念。以 \(\ome_e\) 表示电场能量密度，则
\[\ome_e=\dfrac{\d W}{\d V} \]在上述场合下，有 \(\ome_e=\dfrac{\vare_0E^2}2\)。虽然这仅是一个特例，但因为其仅涉及到 \(E\) 这一电场本身性质，所以可以证明其适用于静电场的一般情况。带电系统的总电场能量进而可以写成
\[W=\int\ome_e\d V=\int\dfrac{\vare_0E^2}2\d V \]注意该积分在全空间内进行，若是带电体的场合也不会局限于带电体内部。
静电场能量和互能（自能）的两个式子计算结果应是相同的，区别在于计算时使用电势还是电场罢了。
XIV.静电场中的导体
XIV.I.导体的静电平衡条件
导体静电平衡，指其内部及表面均无电荷定向移动。要达到这一点，必须满足两个条件：
- 内部电场处处为零。（换言之，导体是等势体）
- 表面电场线处处与表面正交。（换言之，导体表面是等势面）
例如，带电导体 \(A\) 和不带点导体 \(B\) 二者隔一定距离放置，此时 \(B\) 中的自由电子在 \(A\) 上电荷形成的电场作用下移动，生成等量异号的 感生电荷，这些感生电荷进一步影响电场分布，反过来影响 \(A\) 上电荷，不断调整直至稳态。
XIV.II.静电平衡的导体上的电荷分布
-
静电平衡时，内部净电荷处处为零，电荷仅分布于表面（证明：对每个体积元应用 Gauss 定理，若内部有电荷则体积元会有电通量进而有电场）。
-
并且，表面的面电荷密度与紧邻处的电场大小成正比（对表面的柱体使用 Gauss 定理，则应有
\[E\Delta S=\dfrac{\sigma\Delta S}{\vare_0} \]其中 \(\sigma\) 是面电荷密度；因此有 \(\sigma=\vare_0E\)）
应用该式可以由面电荷密度反推表面电场强度；但需要注意的是，表面电场强度并非仅由相邻处的面电荷生成，而是整个带电体的电荷共同生成，只不过恰好满足上述定量定律罢了）
-
孤立导体静电平衡时，表面曲率越大则面电荷密度越大。这是因为，导体表面的电荷同性，它们会互相排斥；高曲率时，斥力的分量很大程度指向表面外，此时与表面平行的分量会很小，进而可以容纳更近距离的电荷。因此，例如针尖等曲率极大处容易积攒超量电荷，产生 尖端放电——这是因为，过高的面电荷密度意味着过高的电场强度，此时空气分子可能电离为等量异号电荷，其中与导体异种电荷与导体电荷中和，同种电荷受电场影响被高速射出，整体来看就像是导体上电荷被喷射而出。
XIV.III.有导体存在时静电场的分析与计算
导体被突然置入已有电场后，电荷的感生与移动是难以描述的，因此计算基本上只能使用如下条件：导体电荷守恒；静电平衡时导体表面的等势性；Gauss 定律，三者列方程并求解。
XIV.IV.静电屏蔽
静电平衡时，作包围空腔的等势面可知空腔表面必然无净电荷；若有等量正负电荷分布于空腔表面上不同位置，则有些区域有正 \(\sigma\) 和正附近场强，有些有负 \(\sigma\) 和负场强；有场强就有电场线，因为空腔内无电荷所以电场线必始于正 \(\sigma\) 终于负 \(\sigma\)，则二者间存在电势差，破坏了等势面条件。因此，静电平衡时空腔内表面上处处无电荷。空腔若有电场线，则其不可能始于空腔壁，更不可能在腔内起讫或成环，故亦处处无电场。则空腔内部及表面必处处无电荷、无电场，这一性质与导体壳外界电场无关：若外界电场改变，则导体壳外表面电荷会重新排布，使得最终内部无电荷。
现在考虑空腔内有电荷的场合。此时取包围空腔等势面，可知空腔内表面总电荷为空腔内总电荷的相反数。若此时已知金属外壳上总电荷，则金属外壳外表面总电荷即可知。若对外壳外表面接地，则外表面无电荷，使得内部电荷对外界的影响终止于空腔内表面，使得空腔内的电场得以不影响外界。
XIV.V.唯一性定理
给定若干静止导体，则只要对于每个导体，知晓二者其一：
- 其所携电量。
- 其表面电势。
- 这二者都被称为边界条件。
则静电场分布唯一确定，这被称为 唯一性定理。
假设所有导体的表面电势均确定，则若存在两不同分布 \(\varp_1\) 与 \(\varp_2\)，考虑求差得到 \(\varp\)，则 \(\varp\) 在所有边界处均为零势。由电势叠加原理，\(\varp\) 显然是一合法电势场。若 \(\varp\) 存在非零极大值或极小值（不妨令存在极大值），则所有电场线均由极大值射出，取包裹之 Gauss 面可以发现电通量非零，而极大值显然不可能出现边界，但是非边界处均无电荷，此时违背 Gauss 定理，则 \(\varp\) 必然无极大亦无极小，此时 \(\varp\) 处处为零，\(\varp_1=\varp_2\)。
使用唯一性定理分析静电屏蔽问题。
考虑一接地金属壳。腔外有电荷但腔内无时，易知腔内无电场。同理，腔内有但腔外无时，知腔外无电场。现在，将二者合一，腔内外同有电荷时，电场如何？
显然，把外有内无和外无内有二者叠合起来，能得到一合理合法的电场分布。由唯一性定理，此乃唯一可行之电场分布。这表明：接地金属壳完全隔绝了内外——虽然金属壳的存无影响了电场本身（金属壳存在和金属壳连同里面的东西一起消失时，外部电场不同），但是改变内外某侧的电场分布，完全不会影响另一侧的电场分布。反观不接地金属壳则不然——其只能存在一脆弱平衡。
唯一性定理引出一方法：镜像法。
考虑一无穷大接地水平金属板，班的上空有一点电荷。考虑区域：金属板及其上方无穷边界，这一块边界电势处处为零。现在关于金属板作一对称虚电荷带等量异种电荷，则金属板与两电荷垂直平分面恰重合。现撤去金属板，可知垂直平分面上电荷处处为零，则上方区域边界条件与金属板的场合完全相同，由唯一性定理二者具有相同电场分布，于是点电荷在金属板上空产生的电场等效于对称系统的电场。
XV.静电场中的电介质
XV.I.电介质对电场的影响
两板间插入一相对介电常量（相对电容率）为 \(\vare_r\) 的电介质，两板间电压变为 \(U'=\dfrac U{\vare_r}\)，其中 \(\vare_r\) 是电介质的一个固有性质，为一个大于 \(1\) 的数。这意味着，电介质下的电场强度减弱为 \(E=\dfrac{E_0}{\vare_r}\)。
XV.II.电介质的极化
对于中性分子，其正负电荷电量相等，因此可以认为其是一个微小的电偶极子。极性分子的正负电荷中心不重合，有着非零的电矩，即 固有电矩；非极性分子的电矩为零。但是若施加一外电场，非极性分子的正负中心就会在电场力的作用下出现偏移，产生一微小电矩，称为 感生电矩，大约是固有电矩的 \(10^{-5}\)。感生电矩的方向总与外加电场方向相同。
电场下的非极性分子总有着整齐的电矩；而极性分子的固有电矩会沿电场方向取向，但因为无规则热运动无法整齐排列。电场越强，排列越整齐。
电介质内部任取一块区域，正负电荷数目均大致相等；仅在表面处，一侧展现正电荷，一侧展现负电荷。这样的电荷称作 面束缚电荷（面极化电荷），与自由电荷不同，无法通过传导的方式引走。表现出束缚电荷的过程被称作 电介质的极化。
电极化强度 \(\b P\) 衡量介质的极化状态，使用如下公式计算：
\[\b P=\dfrac{\sum\b p_i}{\Delta V} \]非极性分子的感生电矩均相同，因此若 \(n\) 表示单位体积分子数目，则非极性介质的电极化强度即为
\[\b P=n\b p \]各向同性电介质当电场强度不过大时，满足公式
\[\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E \]其中 \(\vare_r-1\) 也被记作 \(\chi\)，称为电介质的 电极化率。
使用非极性介质推理可知，在 \(\d S\) 的面积元上，因电极化越过单位面积的电荷为 \(\b P\cdot\b e_n\)，其中 \(\b e_n\) 是面积元的法向量；而其亦适用于极性介质。若取 \(\d S\) 为面临真空的表面，则上式给出面束缚电荷大小。
当介质内部电极化强度并非处处相等时，任意框出内部一封闭曲面，其会有相应的 体束缚电荷。有
\[q_{out}=\oint\b P\cdot\d\b S \]即，总逸出电荷为电极化强度通量；则总体束缚电荷等于负的电极化强度通量。
低外加电场仅仅引起极化（分子电介质显然是绝缘的），但高外加电场可能将电介质中分子的正负电荷拉开变成导体，称之为 电介质的击穿。
XV.III.D 的高斯定理
电介质下的电场，由束缚电荷和自由电荷共同决定；而束缚电荷又反过来受电场而确立，因此问题是复杂的。但是通过引入物理量，可以解决这一问题。
我们有束缚电荷 \(Q\) 和自由电荷 \(q\)。取封闭面 \(S\)，由 Gauss 定理，有
\[\oint\b E\cdot\d\b S=\dfrac1{\vare_0}\left(\sum Q_{in}+q_{in}\right) \]\(Q_{in}\) 的式子可以使用体束缚电荷的公式代入，移项得
\[\oint(\vare\b E+\b P)\cdot\d\b S=\sum q_{in} \]引入辅助物理量 电位移 \(\b D=\vare_0\b E+\b P\)，则上式即为
\[\oint\b D\cdot\d\b S=\sum q_{in} \]即，电位移通量等于自由电荷代数和。真空电介质的场合，该式退化为 Gauss 公式。
代入 \(\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E\)，有 \(\b D=\vare_0\vare_r\b E\)。令 \(\vare=\vare_0\vare_r\) 称作介电常量（电容率），则 \(\b D=\vare\b E\)（仅在各向同性的场合有效）。这样，由自由电荷分布可知 \(\b D\) 分布，然后可知 \(\b E\) 分布。
由静电场回路定理，介质界面两侧，电场强度界面切向分量相等；由 \(D\) 的 Gauss 定理，电位移界面法向分量相等。于是可以推出：令 \(\the_1,\the_2\) 为电位移矢量与法线夹角，可知
\[\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\vare_{r1}}{\vare_{r2}} \]称之为 \(D\) 线折射定律。
XV.IV.电容器和它的电容
电容器两金属板上带有等量异号电荷 \(\pm Q\)，同时有电压 \(U\)。电容器所带电量与电压成正比，比值 \(\dfrac QU\) 称作 电容，则
\[C=\dfrac QU \]单位是 Farad，\(1\Fa=1\Co/\Vo\)。
平行板电容器的电容为 \(\dfrac{\vare_0\vare_rS}d\)。圆柱形、球形等可类似计算。
孤立导体可认为与无限远处另一导体组成电容。例如，半径为 \(R\) 的孤立导体球，可以认为其与无穷远处同心导体球成电容。
电容并联时，电容两侧电压均相同，因此 \(C=\sum C_i\)；串联时，电容所带电量相等，因此 \(\dfrac1C=\sum\dfrac1{C_i}\)。
电容器的性质除了电容，还有耐压能力。并联电容的耐压能力受限于最弱者，而串联电容的电容小于任一成分电容。
XV.V.电容器的能量
电容器内储存了能量。考虑放电了 \(-\d q\) 的电量，这些电量在电场力下做功 \(\d W=-u\d q=-\dfrac qC\d q\)。总功
\[W=\int\d W=\dfrac12\dfrac{Q^2}C=\dfrac12CU^2=\dfrac12QU \]同理可认为，电容器的能量即为其中电场所存有能量。考虑平行板电容器，可以发现 \(W=\dfrac{\vare_0\vare_r}2E^2Sd\)；代入电场能量密度式子可以发现，\(\omega_e=\dfrac12\vare E^2=\dfrac12DE\)——该式由平行板电容推出，但是适用于一切电容。在电介质中，相同电场下储存的能量变为原本的 \(\vare_r\) 倍，这是因为电介质极化过程储存了能量。
XVI.恒定电流
XVI.I.电流与电流密度
电流的本质是微观粒子的定向运动，移动的可以是电子、质子、离子，甚至是带正电的“空穴”。这样的电流称作传导电流。
通过某一界面的电流是 \(I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\)。电流是标量。
考虑有一种载流子，电量是 \(q\)，速度是 \(\b v\)；取面积元 \(\d S\)，法线夹角为 \(\the\)；单位体积载流子数目为 \(n\)，则
\[\d I=\dfrac{qnv\cos\theta\d t\d S}{\d t}=qnv\cos\the\d S=qn\b v\cdot\d\b S \]引入 \(\b J=qn\b v\)，则 \(\d I=\b J\cdot\d\b S\)，此处的 \(\b J\) 被称作 \(\d S\) 处的电流密度。多种载流子的场合，令 \(\b J_i\) 为第 \(i\) 种载流子的电流密度，则 \(\d I=\sum\b J_i\cdot\d\b S\)。或者，令 \(\b J=\sum\b J_i\)，则仍有 \(\d I=\b J\cdot\d\b S\)。
金属的场合，只有自由电子一种载流子，但各载流子速度不同。令平均速度为 \(\bar{\b v}\)，则 \(\b J=ne\bar{\b v}\)。平均速度 \(\bar{\b v}\) 称作漂移速度。
通过某曲面的电流是电流密度通量。根据电荷守恒定律，可知
\[\oint\b J\cdot\d\b S=-\dfrac{\d q_{in}}{\d t} \]称之为 电流的连续性方程。
XVI.II.恒定电流与恒定电场
恒定电流是处处电流密度不随时间变化的电流。恒定电流的场合，所有闭合曲面电流均为零——否则依照电流连续性方程，某区域内的电荷会无限升高或降低，而这是不合法的。推论为，同一根导线中的所有截面，通过电流均相等。
电路中几根导线可以组成节点，节点的总流入电流等于流出电流，称作 节点电流方程，或 Kirchhoff 第一方程。
不随时间变化电流意味着恒定电荷分布，进一步有着恒等电场。恒定电场有保守型，因此可以定义电势。在恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和总等于零，称作 回路电压方程，或 Kirchhoff 第二方程。
恒定电场伴随着电荷移动和电场力做功，需要能量维持；静电场则不需要额外能量的维持。
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