第一章 勾股定理

1.1 勾股定理的证明

• 对于勾股定理，有约 \(500\) 种证明方法。常见的有数格子（见课本勾股数）、赵爽弦图（两种）、加菲尔德证法（总统图）、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法等。这里只列出常见的几种方法。

1.1.1 赵爽弦图

• 赵爽弦图有两种作法，具体如下：

1.构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为 \(c\) , 两条直角边分别为 \(a\)，\(b\) 。以斜边 \(c\) 的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为 \(a-b\) 。如图 \(1-1\) ：

• 根据上图我们不难发现，用两种方法表示出大正方形的面积并列出方程，就可以证明勾股定理。
• \(c^2=4\times \frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2\)

2.同理，构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为 \(c\) , 两条直角边分别为 \(a\)，\(b\) 。以直角边 \(a\)，\(b\) 的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为 \(c\) 。如图 \(1-2\) ：

• 同理再表示出大长方形的面积：
• \((a+b)^2 =4\times \frac{1}{2}ab+c^2\)
  化简得 \(a^2+b^2=c^2\)

1.1.2 加菲尔德证法（总统图）

• 作法：构建两个全等三角形，使得三角形的斜边为 \(c\) , 两条直角边分别为 \(a\)，\(b\) 。以斜边 \(c\) 的长度为边长，构建一个等腰直角三角形，拼接三个图形，使其成为一个梯形，如图 \(1-3\) :

• 据图可知，用两种方法表示出梯形的面积并列出方程，就可以证明勾股定理。
• \(\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}c^2+2 \times \frac{1}{2}ab\)
  化简得 \(a^2+b^2=c^2\)。

以上便是比较常见的证明方法，当然还有比较冷门的：

2.1.3 其他证明方法

• 向常春勾股定理证明方法：

• 如图 \(1-4\) ,分别表示出四边形 \(ABDC\) , 梯形 \(AEDC\) 和 \(\triangle EBD\) 的面积，列出方程即可。
  \(S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac1 2AD\cdot BF+\frac1 2AD\cdot CF=\frac12AD(BF+CF)=\frac12AD\cdot BC=\frac 12c^2\)
  \(S_{梯形AEDC}=\frac12(b+a)\ b\) , \(S_{\triangle EBD}=\frac1 2 (a-b)\ a\) , \(S_{四边形ABCD}=S_{梯形AEDC}+S_{\triangle EBD}\) ;
  \(\therefore \frac 12c^2=\frac12(b+a)\ b+\frac1 2 (a-b)\ a\)
  \(\therefore \frac 12c^2=\frac 12b^2+\frac12 ab+\frac 12a^2-\frac12 ab\)
  \(\therefore a^2+b^2=c^2\)

当然，还有一种比较简单的方法名为数格子，这种证明方法所作的图形在后文毕达哥拉斯树（勾股树）会提到。

• 分别以 \(S1\) , \(S2\) 的边长为直角三角形的斜边，构造等腰三角形。再以构造出的等腰三角形的两条直角边为边长，构建正方形。以此类推。重复若干次后，即可得到毕达哥拉斯树（勾股树）。

1.2 勾股定理的定义及其性质

勾股定理，是一个基本的几何定理，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

• 直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。如果用 \(a,b\) 和 \(c\) 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 \(a^2+b^2=c^2\) 。
• 几何证明过程 ：

• 如图 \(2-1\) :
  在 \(Rt \triangle ABC\) 中
  \(\because \angle 1=90°\)
  $\therefore $ 由勾股定理可得：
  \(AB^2=AC^2+BC^2\) .

1.3 勾股逆定理：

如图 \(2-1\) , 三角形三边为 \(a,b,c\) , 若 \(a,b,c\) 满足 \(a^2+b^2=c^2\) ,
则 \(\triangle ABC\) 是直角三角形， \(\angle c=90°\)。

1.4 勾股数和勾股树

1.4.1 勾股数的认识和应用

• 满足 \(a^2+b^2=c^2\) 的三个正整数是勾股数。
  如：

(3,4,5)
(8,6,10)
(5,12,13)
(15,8,17)
(7,24,25)
(24,10,26)
(21,20,29)
(16,30,34)
(9,40,41)
(35,12,37)
(11,60,61)
(48,14,50)

• 知道两个数，求第三个数，使他们成为一对勾股数。
• 例题：已知有两个数为 \(21,28\) , 且第三个数大于前两个，求第三个数的值。

速算方法：求出前两个数的最大公约数，把前两个数转化为规模更小的数，再求出第三个数。
例如 \(21,28\) 的最大公约数为 \(7\) ，让他们分别除以这个最大公约数。求得 \(3,4\) 。根据勾股数求出这对数的第三个数为 \(5\) ，再乘上文的最大公约数，得 \(5 \times 7=35\) , \(35\) 即为第三个数。

• 例题：一对勾股数中已知较大数为 \(30\) ，较小数为 \(18\) ，求第三个数。

速算方法：逆用平方差公式+快速开根。
解：设第三个数为 \(x\) 。
\(x^2=30^2+18^2=(30+18)(30-18)=48\times 12=4 \times 12\times 12=2^2\times 12^2\) .
$x=\sqrt {2^2\times 12^2}=2 \times 12=24 $ .

• 例题：有一组勾股数，已知其中的两个数分别是 \(17,8\) , 则第三个数是：

分情况讨论：
解：设第三个数为 \(x\) 。
当 \(x^2+8^2=17^2\) 时，
解得 \(x=15\).
当 \(8^2+17^2=x^2\) 时，解得 \(x=\sqrt {353}\) .
\(\because\) 勾股数是正整数
$\therefore $ 舍去
故答案为：\(15\) 。

1.4.2 部分勾股数的规律

• 互质勾股数： \(3n,4n,5n\).当 \(n=1\) 时，勾股数为 \(3,4,5\) ；
  当 \(n=2\) 时，勾股数为 \(6,8,10\) ；我们不难看出，由这个生成的勾股数全是互质的。

• 奇数+互质：
  \(a\geq3,a=2n+1,b=\frac{a^2-1}{2},c=\frac{a^2+1}{2}\)如 \(3,4,5\) ; \(5,12,13\) ; \(7,24,25\) ; \(9,40,41\) 等。

• 通用公式：
  \(a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2\ (m>n>0)\) .
  如当 \(m=2,n=1\) 时，勾股数为 \(3,4,5\) ；
  当 \(m=3,n=2\) 时，勾股数为 \(5,12,13\) ；