向量

我们定义向量是多维空间中一条带方向的线段，由于不太需要考虑其绝对位置关系，只考虑相对位置，一般都是平移到原点然后记录终点的坐标，记为 \(\vec x = (a_1, a_2, ..., a_n)\)。

一般来说我们只探讨二维向量，因为是比较容易想的。

比如说：

我们可以称这个向量为 \(u\)，也可以表示为 \(\vec B\)，显然 \(\vec B = (2, 3)\)。

同时在空间中也有一些特殊的向量，比如：

• \(\vec 0\)，就是原点，由原点指向原点，初始的向量。
• \(\vec i\)，在 \(x\) 轴方向前进一步的向量。
• \(\vec j\)，在 \(y\) 轴方向前进一步的向量。
• \(\vec k, l, m ...\)，在更高维度上前进一步的向量。

我们称这些向量为基向量。

如图：

向量 \(\vec i\) 和 \(\vec j\) 就是基向量。

下面介绍一下向量的加减法则：

• \(\vec a + \vec b = (x_a + x_b, y_a + y_b)\)。
• \(\vec a - \vec b = (x_a - x_b, y_a - y_b)\)。

如图：

\(\vec a + \vec b = \vec c\)。

如果是减法我们就加上其相反向量即可。

向量的数乘：

• \(p \vec a = (px_a, px_b)\)。

向量的点乘：

• \(\vec a \cdot \vec b = |a| \cdot |b| \cdot \cos <a, b>\)。

矩阵

\(n \times m\) 的矩阵。

\(n \times n\) 的矩阵称之为方阵。

运算：

• 矩阵的加法：按位相加即可。
• 矩阵的数乘：按位相乘即可。
• 矩阵的点乘：\(c_{i, j} = \sum a_{i, k} \times b_{k, j}\)。
• 矩阵的转置：写为 \(A^T\)，\(A^T_{i, j} = A_{j, i}\)。

基础矩阵：

• 单位矩阵：即主对角线上全为 \(1\)，乘上任何矩阵都为它本身。
• 零矩阵：全为 \(0\) 的矩阵，乘上任何矩阵都为零矩阵。

很多 DP 转移可以写成矩阵形式，由于矩阵乘法是有结合律的，所以可以快速幂做。

行列式

行列式仅针对方阵。

然后计算公式是：

一些性质：

• 交换两行，行列式值乘上 \(-1\)。
• 倍加，行列式值不变。
• 和的拆分（一行或一列），直接拆分相加即可。
• \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\)

根据性质，可以用高斯消元把下面全部消成 \(0\)，然后就只能取对角线上的值了。