向量
我们定义向量是多维空间中一条带方向的线段,由于不太需要考虑其绝对位置关系,只考虑相对位置,一般都是平移到原点然后记录终点的坐标,记为 \(\vec x = (a_1, a_2, ..., a_n)\)。
一般来说我们只探讨二维向量,因为是比较容易想的。
比如说:
我们可以称这个向量为 \(u\),也可以表示为 \(\vec B\),显然 \(\vec B = (2, 3)\)。
同时在空间中也有一些特殊的向量,比如:
- \(\vec 0\),就是原点,由原点指向原点,初始的向量。
- \(\vec i\),在 \(x\) 轴方向前进一步的向量。
- \(\vec j\),在 \(y\) 轴方向前进一步的向量。
- \(\vec k, l, m ...\),在更高维度上前进一步的向量。
我们称这些向量为基向量。
如图:
向量 \(\vec i\) 和 \(\vec j\) 就是基向量。
下面介绍一下向量的加减法则:
- \(\vec a + \vec b = (x_a + x_b, y_a + y_b)\)。
- \(\vec a - \vec b = (x_a - x_b, y_a - y_b)\)。
如图:
\(\vec a + \vec b = \vec c\)。
如果是减法我们就加上其相反向量即可。
向量的数乘:
- \(p \vec a = (px_a, px_b)\)。
向量的点乘:
- \(\vec a \cdot \vec b = |a| \cdot |b| \cdot \cos <a, b>\)。
矩阵
\(n \times m\) 的矩阵。
\(n \times n\) 的矩阵称之为方阵。
运算:
- 矩阵的加法:按位相加即可。
- 矩阵的数乘:按位相乘即可。
- 矩阵的点乘:\(c_{i, j} = \sum a_{i, k} \times b_{k, j}\)。
- 矩阵的转置:写为 \(A^T\),\(A^T_{i, j} = A_{j, i}\)。
基础矩阵:
- 单位矩阵:即主对角线上全为 \(1\),乘上任何矩阵都为它本身。
- 零矩阵:全为 \(0\) 的矩阵,乘上任何矩阵都为零矩阵。
很多 DP 转移可以写成矩阵形式,由于矩阵乘法是有结合律的,所以可以快速幂做。
行列式
行列式仅针对方阵。
然后计算公式是:
\[\det(A) = \sum (-1)^{\sigma} \prod a_i \]一些性质:
- 交换两行,行列式值乘上 \(-1\)。
- 倍加,行列式值不变。
- 和的拆分(一行或一列),直接拆分相加即可。
- \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\)
根据性质,可以用高斯消元把下面全部消成 \(0\),然后就只能取对角线上的值了。
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