根轨迹法
开环系统 某一参数 从零变到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
有负反馈闭环系统，\(s\)表示复数
可知：\((R-C)\frac {U}{V}=C\)
显然，
闭环传递函数：\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{U(s)}{U(s)+V(s)}\)
闭环特征方程：\({U(s)+V(s)}=0\)
令开环传递函数为\(G(s)=\frac {U(s)}{V(s)}\)
则闭环特征方程：\(1+G(s)=0\)
（上述是负反馈闭环系统，正反馈闭环系统的特征方程则是\(1-G(s)=0\)）
当\(U(s)=K_r\)，\(K_r∈R^+\)时，即\(U(s)\)为幅值增益函数
取\(V(s)\)为多项式乘积，可令当\(V(s)=s(s+2)\)
那么，闭环特征根\(s_{1,2}=-1\pm \sqrt {1-K_r}\)
- \(K_r=0\)时，\(s_1=0,s_2=-2\)
- \(0<K_r<1\)时，\(s_{1,2}=-1\pm \sqrt {1-K_r}\)，不同的实根
- \(K_r=1\)时，\(s_1=s_2=-1\)
- \(0<K_r< \infty\)时，\(s_{1,2}=-1\pm j\sqrt {K_r-1}\)，共轭复数根
由此，根轨迹绘制：参数\(K_r\)有0变化到\(\infty\)过程中，特征根\(s_{1,2}\)在复平面内的轨迹
根轨迹分析
-
稳定性：\(K_r>0\)时，特征根均有负实部，系统稳定
-
稳态性能：先根据开环传递函数判断系统类型
- 阶跃输入：没有稳态误差
- 斜坡输入：有稳态误差
-
动态性能
- \(0<K_r<1\)时，特征根为两个不同的负实根，过阻尼状态
- \(K_r=1\)时，\(s_1=s_2=-1\)，临界阻尼状态
- \(0<K_r< \infty\)时，共轭复数根，欠阻尼状态，阻尼振荡
根轨迹方程
已知开环传递函数为\(G(s)=\frac {U(s)}{V(s)}\)
则闭环特征方程：\(1+G(s)=0\)
并存在开环增益\(K_r\)，且\(G(s)\)的（开环）零点记作\(z_j\)，（开环）极点记作\(p_i\)，则特征方程可写作：
该形式的特征方程称为根轨迹方程。其中\(K_r\)为实变量，\(z_j,p_i\)为复常量，这两者条件均需要满足
实例1
方程参数满足要求，属于根轨迹方程
\[1+G(s)=1+K^* \frac{s+2 }{s(s+3)}=0 \]实例2
闭环传递函数：\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)，其中\(G(s)= \frac {10}{s(s+2)},H(s)=1+K_ts\)
闭环特征方程：\(1+G(s)H(s)=0\)
方程中的增益参数\(K_t\)变化过程中，\(G(s)H(s)\)开环零点不满足其为复常数的要求，特征方程变化不属于根轨迹方程
\[1+G(s)H(s)=1+\frac{10(1+K_ts) }{s(s+2)}=0 \]但可以将其转化等效根轨迹方程：
\[1+\frac{10(1+K_ts) }{s(s+2)} \equiv 1+\frac{10K_ts}{(s+1+3j)(s+1-3j)}=0 \]根轨迹的幅值与相角
根轨迹方程：
\[1+K_r\frac{\prod_{j=1 }^{m} (s-z_j)}{\prod_{i=1 }^{n} (s-p_i)} =0 \]这是标准的180°根轨迹，\(K_r\)为非负，\(s\)系数为正；负反馈系统是否为0度还是180度的根轨迹（控制器可以控制特征方程的相位），需要看根轨迹方程的形式，因为控制器和系统本身会影响根轨迹方程，\(G(s)\)是关于\(s\)最高次系数为正的线性分式多项式
- 0度根轨迹：\(1-G(s)=0\)
- 180度根轨迹：\(1+G(s)=0\)
根据复数的相角运算规则：
\(\sum_{j=1}^{m}\angle (s-z_j) -\sum_{i=1}^{n}\angle (s-p_i)= \pm (2k+1)\pi\)，其中\(k=0,1,2,3……\)
称之为相角条件，根轨迹的充要条件
移项后，等式两边一同取模：
\[K_r\frac{\prod_{j=1 }^{m} |s-z_j|}{\prod_{i=1 }^{n} |s-p_i|} =1 \]于是，得到幅值条件，用于确定根轨迹上某点对应的增益值
\[K_r=\frac{\prod_{i=1 }^{n} |s-p_i|} {\prod_{j=1 }^{m} |s-z_j|} \]实例
已知系统开环传递函数，判断复平面的一点\(s_1\)是否为根轨迹上的点
裕度 margin
负反馈系统本质是初始输入减去输出的误差作为新的输入（即期望新的输入小于初始输入），系统有延时或者传递函数会影响输出的相位，即输入与输出的不一定同相，反相时负反馈反倒变成正反馈
当系统中的延迟达到180°时，反馈信号就是给定信号反相。此时，若进行负反馈，则可以等效为将反馈信号反相的正反馈
此外，正反馈系统不一定发散，即增益K很小时，系统输出可能级数收敛
相位滞后180°时，即相位-180°，系统未必是发散的。此时，开环增益K对系统的稳定性和性能有较大影响
由此出现相位裕度phase margin（或称稳定裕度）和增益裕度gain margin（或称幅值裕度）
- 相位裕度：频率响应的增益达到1时（增益交界频率），相位与-180°的差值
- 增益裕度：频率响应（开环传递函数中令s=jw）的相位达到-180°时（相位交界频率处），增益的倒数为增益裕量，\(GM=20lgK\)
二者常出现在Nyquist图和Bode图中，实际设计时，要保持足够的相位裕度和增益裕度。
- 在频率 \(_\) 处，相位再滞后\(PM\)，系统将达到临界稳定状态。
- 增益裕度 \(_\) 为一个系数，若开环系统的增益增加该系数倍，则闭环系统达到稳定的临界状态。