数论分块
若可以 \(O(1)\) 计算 \(f(r) - f(l)\),那么就可以 \(O(\sqrt n)\) 计算 \(\sum^n_{i = 1} f(i)(g\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)。
关于 \(l , r\) 的含义与计算:
含义:\(\forall x \in [l,r],\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\) 相等
计算:刚开始 \(l\) 肯定为 \(1\),如何理解 \(r=\lfloor \frac{lim}{\lfloor \frac{lim}{l} \rfloor} \rfloor\) 呢?
首先 \(\lfloor \frac{lim}{l} \rfloor\) 肯定是好理解的,因为要使得 \(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor = \lfloor \frac{lim}{l} \rfloor\),那么 \(r\) 就是这里面最大的 \(x\),设 \(lim \% {\lfloor \frac{lim}{l} \rfloor} = y\),若 \(r\) 要增大 \(1\),那么 \(lim\) 相应的要增大 \(\lfloor \frac{lim}{l} \rfloor - y\) 才能堪堪达到。
狄利克雷卷积
\(h = f * g\)
\(h(x) = \sum_{d|x}f(x)g(\frac{x}{d})\)
积性函数
单位函数 \(\epsilon(x) = [x = 1]\)
恒等函数 \(id(x) = x\)
常数函数 \(1(n) = 1\)
性质1 \(\varphi * 1 = id\)
性质2 \(id * \mu = \varphi\)
证明晚点证
莫比乌斯反演
一个重要性质 \(\sum_{d|n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{if} & n \\ 0 & \text{if} & {n = 1} \end{cases}\)
对应到 \(\gcd\) 上就是 \(\sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d) = [\gcd(i,j) = 1]\)
这样看起来变复杂了,但是我们就可以在前面 \(\sum_i \sum_j\) 两层东西前面枚举 \(d\) 具体是什么,以此改变了枚举顺序,并且d仅是 \(i , j\) 的公约数而非最大公约数。
以一道例题来说