极限

极限的定义

1）数列极限

$$
\begin{align}
&\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=A \Leftrightarrow对于\forall \epsilon0,\exist N,使得当nN时,有|x_n-A|<\epsilon\
&\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \epsilon0,\exist M0,使得当|x|M时,有|f(x)-A|<\epsilon\
&\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \epsilon0,\exist M0,使得当xM时,有|f(x)-A|<\epsilon\
&\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \epsilon0,\exist M0,使得当x<M时,有|f(x)-A|<\epsilon\
&\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \epsilon0,\exist M0,使得当xM时,有|f(x)-A|<\epsilon\
\end{align}
$$

极限的性质

1）局部保号性

$$
\begin{align}
&若\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A0(<0),\
&则\exist \delta 0,使得当x \in U^0(x_0,\delta)时,f(x)0(<0)\
\end{align}
$$

推论：保序性：
$$
\begin{align}
&若\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A0(<0),则\forall \alpha <A(\beta A),\
&\exist \delta0,使得当x \in U^0(x_0,\delta)时,f(x)\alpha(f(x)<\beta)\
\end{align}
$$

2）局部有界性

$$
\begin{align}
若\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,则\exist U^{0(x_0),使得f(x)在U}0(x_0)内有界
\end{align}
$$

3）不等式性质

$$
\begin{align}
&若\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A,\
&\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=B都存在,\
&且f(x)\geq g(x),\
&则A\geq B\
&\
&注解：若将f(x)\geq g(x)条件换为f(x)g(x),结论AB不一定成立\
&x\rightarrow +\infty,\frac{1}{x}\frac{1}{x+1}不能推出\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x+1}\
&但可以推出\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}\geq\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x+1}
\end{align}
$$

推论：
$$
若\lim_{x\rightarrow x_0}存在,且f(x)\geq0(\leq 0),则A\geq 0(A\leq 0)
$$

4）四则运算

$$
\begin{align}
&若\lim f(x)=A,\lim g(x)=B,则\
&\lim [f(x) \pm g(x)]=A \pm B\
&\lim f(x)g(x)=A*B\
&\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B},(B \neq 0)\
&\
&注解：若\lim f(x)不存在,\lim g(x)=B存在,\
&则\lim [f(x) \pm g(x)]必不存在,\
&但\lim f(x)g(x)不一定必存在\
&\
\end{align}
$$

数列极限

$$
\begin{align}
&定义1 \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=A:\
&\forall \epsilon0,\exist N0,当nN时,恒有|x_n-A|<\epsilon\
&注解：\
&(1)\epsilon与N的作用：\
&\epsilon刻画x_n与A的接近程度,N是描述n\rightarrow \infty的过程\
&(2)几何意义：\
&对任意一个给定的\epsilon，在\epsilon领域，当n足够大时，前有限项落在领域外，其余都落在(A-\epsilon,A+\epsilon)内\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&(3)一个数列有没有极限与前有限项无关\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&(4)\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}x_{2k-1}=\lim_{k\rightarrow\infty}x_{2k}=a:\
&数列极限\exist\overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}奇数列偶数列极限\exist\
&数列极限\exist\overset{\Rightarrow}{\Leftarrow}奇数列极限\exist=偶数列极限\exist\
&eg:a_n=(-1)^n,a_{2k-1}=-1,-1,-1,...,-1;a_{2k}=1,1,1,...,1;\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k-1}\neq\lim_{k\rightarrow \infty}a_{2k}
\end{align}
$$

例题1

$$
\begin{align}
&法1：分奇偶数列\
&奇数项：\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n+1}{n})^{-1}=1\
&偶数项：\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n+1}{n})^{1}=1\
&法2：缩放法+夹逼原理\
&(\frac{n+1}{n})^{{-1}\leq(\frac{n+1}{n})}\leq\frac{n+1}{n}\
&\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n})^{-1}=1\leq\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n})^{(-1)n}\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}=1\
&I=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n})^{(-1)n}=1\
\end{align}
$$

例题2

$$
\begin{align}
&(1)解法:重要不等式||a|-|b||\leq|a-b|\
&因为\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a由极限定义可知\
&\forall \epsilon0,\exist N0,当nN时,|x_n-a|<\epsilon\
&根据||x_n|-|a||\leq|x_n-a|,\
&则\forall \epsilon0,\exist N0,当nN时,||x_n|-|a||<\epsilon\
&反之不成立,例如x_n=(-1)^n,则\lim_{n\rightarrow \infty}|x_n|=1=|1|,但\lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^n不存在\
&(2)由(1)可知,若\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0,则\lim_{n\rightarrow \infty}|x_n|=|0|=0\
&由\lim_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0,\forall \epsilon0,\exist N0,当nN时,||x_n|-0|<\epsilon\
&即|x_n-0|<\epsilon\
\end{align}
$$

求数列极限的方法：

$$
\begin{align}
&（1）将数列极限转化为函数极限\

\end{align}
$$

函数极限

1)自变量趋于无穷大时函数的极限

例题

$$
\begin{align}
&极限\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=?\
&解：\
&\sqrt x^2=|x|\
&分左右\
&\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=1\
&\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=-1\
&\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\neq\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\
&\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}不存在
\end{align}
$$

2)自变量趋于有限值时函数的极限

$$
\begin{align}
&注解：(1)\epsilon的任意性,\epsilon与\delta时,恒有|f(x)-A|<\epsilon\
&\Rightarrow A-\epsilon<f(x)<A+\epsilon\
&(2)几何意义：f(x_0)这一点可无定义，与去心邻域的函数值有关系\
\end{align}
$$

易错点：

$$
\begin{align}
&正确：\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1(x\rightarrow 0,x\neq 0)\
&错误：\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x\sin \frac{1}{x})}{x\sin\frac{1}{x}}=1\
&需保证x{\sin\frac{1}{x}}\rightarrow 0,x{\sin\frac{1}{x}}\neq 0\
&即在0点的去心领域内x{\sin\frac{1}{x}}\neq0\
&但当x=\frac{1}{n\pi},使得x{\sin\frac{1}{x}}=0\
&所以原始极限不存在\
\end{align}
$$

极限性质

$$
\begin{align}
&1)有界性\
&(1)数列有界性：如果数列[x_n],那么数列[x_n]一定有界\
&x_n\rightarrow a,nN,因为x_n\leq M
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
&x_n前n项为有限元,必有一个数M大于前n项最大值\
&收敛\overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}有界\
&eg:x_n=(-1)^n\
&(2)局部有界性：若\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\exist,则f(x)在x_0某去心邻域有界\
&\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\exist\overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}f(x)局部有界(去心邻域有界)\
&eg:f(x)=\sin\frac{1}{x},\lim_{x\rightarrow 0}{\sin\frac{1}{x}}有界,但不存在\
&2)保号性\
&(1)数列极限保号性\
&设\lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}=A\
&[1]如果A0(或A<0),则存在N0,当nN,x_n0(或x_n<0)\
&[2]如果存在N0,当nN时,x_n\geq 0(或x_n\leq0),则A\geq0(或A\leq 0)\
&(2)函数极限保号性\
&[1]如果A0(或A<0),则存在\delta0,当x\in \dot{U}(x_0,\delta)时,f(x)0(或f(x_0)<0)\
&[2]如果存在\delta0,当x\in \dot{U}(x_0,\delta)时,f(x)\geq0(或f(x)\leq0),那么A\geq0(或A\leq0)
\end{align}
$$