高等数学

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

1.映射概念

  设 X, Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\), 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 \(f\), 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称 \(f\) 为从 X 到 Y 的映射，记作
\(\qquad f:X→Y\),
  其中 y 称为元素 x (在映射 \(f\) 下)的像，并记作 \(f(x)\), 即
\(\qquad y=f(x)\),

  而元素 x 称为元素 y (在映射 \(f\) 下)的一个原像；集合 X 称为映射 \(f\) 的定义域，记作 \(D_f\), 即 \(D_f=X\); X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域，记作 \(R_f 或 f(X)\), 即:
\(\qquad R_f=f(X)=\{f(x)\;|x\in X\}\)

(1) 映射三要素：定义域、值域、对应法则

(2) 对每个 \(x\in X\), 元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个 \(y\in R_f\), 元素 y 的原像不一定是唯一的；映射 \(f\) 的值域 \(R_f\), 是 Y 的一个子集，即 \(R_f\subset Y\), 不一定 \(R_f=Y\)

  设 \(f\) 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若 \(R_f=Y\),即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 \(f\) 为 X 到 Y 上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素 \(x_1\neq x_2\), 它们的像 \(f(x_1)\neq f(x_2)\), 则称 \(f\) 为 X 到 Y 的单射；若映射 \(f\) 既是单射，又是满射，则称 \(f\) 为一一映射(或双射).

  映射又称为算子.根据集合X,Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集合 X 到数集 Y 的映射又称为 X 上的泛函，从非空集合 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换，从实数集(或其子集) X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数.