微分方程
-
一阶微分方程：
- y ′ = f ( x ) g ( y ) : ∫ d y g ( y ) = ∫ f ( x ) d x y' = f(x)g(y): \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx y′=f(x)g(y):∫g(y)dy=∫f(x)dx
- y ′ = f ( y x ) : u = y x , y = u x , y ′ = u + x d u d x y' = f( \frac{y}{x}): u = \frac{y}{x},\ y = ux,\ y' = u + x \frac{du}{dx} y′=f(xy):u=xy, y=ux, y′=u+xdxdu
- y ′ + p ( x ) y = q ( x ) : y = e − ∫ p ( x ) d x ( ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C ) y' + p(x)y = q(x): y = e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C\right) y′+p(x)y=q(x):y=e−∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)
-
二阶微分方程：
-
G ( x , y ′ , y ′ ′ ) = 0 G(x, y', y'') = 0 G(x,y′,y′′)=0 的情况：
- 当 y ′ = p y' = p y′=p 和 y ′ ′ = p ′ y'' = p' y′′=p′ 时，我们可以得到 p = y ′ = p ( x , C 1 ) p = y' = p(x, C_1) p=y′=p(x,C1)。这将导致 y = y ( x , C 1 , C 2 ) y = y(x, C_1, C_2) y=y(x,C1,C2)。
-
G ( y , y ′ , y ′ ′ ) = 0 G(y, y', y'') = 0 G(y,y′,y′′)=0 的情况：
- 当 y ′ = p y' = p y′=p 和 y ′ ′ = p d p d y y'' =p \frac{dp}{dy} y′′=pdydp 时，我们有 p = y ′ = p ( y , C 1 ) p = y' = p(y, C_1) p=y′=p(y,C1)。这会导致 y = y ( x , C 1 , C 2 ) y = y(x, C_1, C_2) y=y(x,C1,C2)。
-
伯努利型方程：
- 对于形如
y
′
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y
n
y' + p(x)y = q(x)y^n
y′+p(x)y=q(x)yn 的伯努利型微分方程，
通过同除以 y n y^n yn 并引入新变量 z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1−n，我们得到 z ′ = ( 1 − n ) y − n y ′ z' = (1 - n)y^{-n}y' z′=(1−n)y−ny′
可以简化为线性微分方程 z ′ + ( 1 − n ) p ( x ) z = ( 1 − n ) q ( x ) z' + (1 - n)p(x)z = (1 - n)q(x) z′+(1−n)p(x)z=(1−n)q(x)。
- 对于形如
y
′
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y
n
y' + p(x)y = q(x)y^n
y′+p(x)y=q(x)yn 的伯努利型微分方程，
-
欧拉型方程：
- 形如
x
2
y
′
′
+
a
1
x
y
′
+
a
2
y
=
f
(
x
)
x^2 y'' + a_1xy' + a_2y = f(x)
x2y′′+a1xy′+a2y=f(x) 的欧拉型微分方程，
通过变量代换 x = e t x = e^t x=et(x>0)，从而导致一系列简化步骤，
例如 x d y d x = d y d t = D y x\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} = Dy xdxdy=dtdy=Dy 和 x 2 d 2 y d x 2 = d 2 y d t 2 − d y d t = D ( D − 1 ) y x^2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} = D(D-1)y x2dx2d2y=dt2d2y−dtdy=D(D−1)y。
→ d 2 y d t 2 + ( a 1 − 1 ) d y d t + a 2 y = f ( e t ) \frac{d^2y}{dt^2} + (a_1 - 1) \frac{dy}{dt} + a_2y = f(e^t) dt2d2y+(a1−1)dtdy+a2y=f(et)
- 形如
x
2
y
′
′
+
a
1
x
y
′
+
a
2
y
=
f
(
x
)
x^2 y'' + a_1xy' + a_2y = f(x)
x2y′′+a1xy′+a2y=f(x) 的欧拉型微分方程，
差分方程(数三)
形如:
y
t
+
1
−
a
y
t
=
f
(
t
)
y_{t+1} - a y_t = f(t)
yt+1−ayt=f(t)
齐次方程
y
t
+
1
−
a
y
t
=
0
y_{t+1} - a y_t = 0
yt+1−ayt=0
特征方程为：
r
−
a
=
0
r - a = 0
r−a=0,
⇒
r
=
a
\Rightarrow r = a
⇒r=a,
⇒
y
ˉ
t
=
C
a
t
\Rightarrow \bar{y}_t = C a^t
⇒yˉt=Cat
非齐次方程部分
- 若 f ( t ) = P n ( t ) d ′ f(t) = P_n(t) d' f(t)=Pn(t)d′，则令 y i ∗ = Q n ( t ) d ′ ⋅ t k y_i^* = Q_n(t) d' \cdot t^k yi∗=Qn(t)d′⋅tk
- 当 d = a d = a d=a 时， k = 0 k = 0 k=0；当 d ≠ a d \neq a d=a 时， k = 1 k = 1 k=1
- 代入非齐次方程求解出 y i ∗ y_i^* yi∗，有 y i = y ˉ i + y i ∗ = C a t + y i ∗ y_i = \bar{y}_i + y_i^* = C a^t + y_i^* yi=yˉi+yi∗=Cat+yi∗
常系数线性微分方程
- 齐次方程： y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 : y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 : y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=0:y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
- 非齐次方程： y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) : y ( x ) = y ∗ ( x ) + C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x) : y(x) = y^*(x) + C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x):y(x)=y∗(x)+C1y1(x)+C2y2(x)
特征根情况
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y'' + py' + qy = 0 y′′+py′+qy=0解 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2 + p\lambda + q = 0 λ2+pλ+q=0
- 不同特征根 λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ1,λ2： y ( x ) = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x
- 相同特征根 λ 1 = λ 2 \lambda_1 = \lambda_2 λ1=λ2： y ( x ) = ( C 1 + C 2 x ) e λ x y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x} y(x)=(C1+C2x)eλx
- 复数特征根 λ = α ± i β \lambda = \alpha \pm i\beta λ=α±iβ： y ( x ) = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) y(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
非齐次方程解
y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y'' + py' + qy = f(x) y′′+py′+qy=f(x)求 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)
-
f
(
x
)
=
P
n
(
x
)
e
α
x
→
y
∗
(
x
)
=
Q
n
(
x
)
e
α
x
⋅
x
k
f(x) = P_n(x)e^{\alpha x} \rightarrow y^*(x) = Q_n(x)e^{\alpha x} \cdot x^k
f(x)=Pn(x)eαx→y∗(x)=Qn(x)eαx⋅xk
- k = { 0 , α 不是特征方程的根 1 , α 是特征方程的单根 2 , α 是特征方程的二重根 k = \begin{cases} 0, & {\alpha } \text{不是特征方程的根} \\ 1, & {\alpha } \text{是特征方程的单根} \\ 2, & {\alpha } \text{是特征方程的二重根} \end{cases} k=⎩ ⎨ ⎧0,1,2,α不是特征方程的根α是特征方程的单根α是特征方程的二重根
-
f
(
x
)
=
e
α
(
A
cos
β
x
+
B
sin
β
x
)
→
y
∗
(
x
)
=
e
α
x
(
a
cos
β
x
+
b
sin
β
x
)
⋅
x
k
f(x) = e^{\alpha}(A \cos \beta x + B \sin \beta x) \rightarrow y^*(x) = e^{\alpha x}(a \cos \beta x + b \sin \beta x) \cdot x^k
f(x)=eα(Acosβx+Bsinβx)→y∗(x)=eαx(acosβx+bsinβx)⋅xk, 其中
- k = { 0 , α ± β i 不是特征方程的根 1 , α ± β i 是特征方程的单根 k = \begin{cases} 0, & \alpha \pm \beta i \text{不是特征方程的根} \\ 1, & \alpha \pm \beta i \text{是特征方程的单根} \end{cases} k={0,1,α±βi不是特征方程的根α±βi是特征方程的单根
- f ( x ) = e α x ( A m ( x ) cos ( β x ) + B n ( x ) sin ( β x ) ) → y ∗ ( x ) = e α x ( P l ( x ) cos ( β x ) + Q l ( x ) sin ( β x ) ) ⋅ x k , f(x) = e^{\alpha x} \left( A m(x) \cos(\beta x) + B n(x) \sin(\beta x) \right) \rightarrow y^*(x) = e^{\alpha x} \left( P_l(x) \cos(\beta x) + Q_l(x) \sin(\beta x) \right) \cdot x^{k}, f(x)=eαx(Am(x)cos(βx)+Bn(x)sin(βx))→y∗(x)=eαx(Pl(x)cos(βx)+Ql(x)sin(βx))⋅xk,
其中 l = max ( ∣ m ∣ , ∣ n ∣ ) l = \max(|m|, |n|) l=max(∣m∣,∣n∣) 且
l = { 0 , α ± β i 不是特征方程的根 1 , α ± β i 是特征方程的单根 l = \begin{cases} 0, & \alpha \pm \beta i \text{不是特征方程的根} \\ 1, & \alpha \pm \beta i \text{是特征方程的单根} \end{cases} l={0,1,α±βi不是特征方程的根α±βi是特征方程的单根
多元微分
- 方程 F ( x , y ) = 0 : d y d x = − F x ′ ( x , y ) F y ′ ( x , y ) F(x, y) = 0 : \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)} F(x,y)=0:dxdy=−Fy′(x,y)Fx′(x,y)
- 方程 F ( x , y , z ) = 0 : ∂ z ∂ x = − F z ′ ( x , y , z ) F x ′ ( x , y , z ) , ∂ z ∂ y = − F z ′ ( x , y , z ) F y ′ ( x , y , z ) F(x, y, z) = 0 : \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_z'(x,y,z)}{F_x'(x,y,z)}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_z'(x,y,z)}{F_y'(x,y,z)} F(x,y,z)=0:∂x∂z=−Fx′(x,y,z)Fz′(x,y,z),∂y∂z=−Fy′(x,y,z)Fz′(x,y,z)
- 若有两个方程
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0
F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0，则求解如下形式的极值：
- F x + F y d y d x + F z d z d y = 0 F_x + F_y \frac{dy}{dx} + F_z \frac{dz}{dy} = 0 Fx+Fydxdy+Fzdydz=0
- G x + G y d y d x + G z d z d x = 0 G_x + G_y \frac{dy}{dx} + G_z \frac{dz}{dx} = 0 Gx+Gydxdy+Gzdxdz=0
无条件和条件极值
- 步骤1：求驻点。
- 步骤2：验证
B
2
−
A
C
B^2 - AC
B2−AC。
-
B
2
−
A
C
B^2 - AC
B2−AC
- < 0 < 0 <0：不存在
- = 0 = 0 =0：不确定
-
>
0
> 0
>0
- A > 0 A > 0 A>0：极小值
- A < 0 A < 0 A<0：极大值
-
B
2
−
A
C
B^2 - AC
B2−AC
条件极值
-
z
=
f
(
x
,
y
)
,
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
z = f(x, y), \phi(x, y) = 0
z=f(x,y),ϕ(x,y)=0
- 辅助函数构造： F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \phi(x, y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)
- 解方程组： { f x ( x , y ) + λ ϕ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ ϕ y ( x , y ) = 0 ϕ ( x , y ) = 0 \begin{cases} f_x(x, y) + \lambda \phi_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) + \lambda \phi_y(x, y) = 0 \\ \phi(x, y) = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧fx(x,y)+λϕx(x,y)=0fy(x,y)+λϕy(x,y)=0ϕ(x,y)=0
二重积分
-
二重积分性质：
- 如果在区域 D D D 上恒有 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x, y) \leq g(x, y) f(x,y)≤g(x,y)，则 ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_D f(x, y) d\sigma \leq \iint_D g(x, y) d\sigma ∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ.
- 如果在区域 D D D 上有最大值 M M M 和最小值 m m m，则 m A ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M A mA \leq \iint_D f(x, y) d\sigma \leq MA mA≤∬Df(x,y)dσ≤MA.
-
中值定理：
- 若积分区域
D
D
D 关于
x
x
x 轴对称，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 为
y
y
y 的奇偶函数：
- { 0 , f ( x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ , f ( x , − y ) = f ( x , y ) \begin{cases} 0, & f(x, -y) = -f(x, y) \\ 2\iint_{D_1} f(x, y) d\sigma, & f(x, -y) = f(x, y) \end{cases} {0,2∬D1f(x,y)dσ,f(x,−y)=−f(x,y)f(x,−y)=f(x,y).
- 若积分区域
D
D
D 关于
y
y
y 轴对称，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 为
x
x
x 的奇偶函数：
- { 0 , f ( − x , y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 2 f ( x , y ) d σ , f ( − x , y ) = f ( x , y ) \begin{cases} 0, & f(-x, y) = -f(x, y) \\ 2\iint_{D_2} f(x, y) d\sigma, & f(-x, y) = f(x, y) \end{cases} {0,2∬D2f(x,y)dσ,f(−x,y)=−f(x,y)f(−x,y)=f(x,y).
- 若
D
D
D 关于原点对称，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 同时为
x
,
y
x, y
x,y 的奇偶函数：
- { 0 , f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 2 f ( x , y ) d σ , f ( − x , − y ) = f ( x , y ) \begin{cases} 0, & f(-x, -y) = -f(x, y) \\ 2\iint_{D_2} f(x, y) d\sigma, & f(-x, -y) = f(x, y) \end{cases} {0,2∬D2f(x,y)dσ,f(−x,−y)=−f(x,y)f(−x,−y)=f(x,y).
- 若积分区域
D
D
D 关于
x
x
x 轴对称，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 为
y
y
y 的奇偶函数：
-
轮换对称性：
- I = ∬ D x y f ( x , y ) d x d y = ∬ D y x f ( y , x ) d y d x I = \iint_{D_{xy}} f(x, y) dxdy = \iint_{D_{yx}} f(y, x) dydx I=∬Dxyf(x,y)dxdy=∬Dyxf(y,x)dydx，若积分区域 D x y D_{xy} Dxy 关于 y = x y = x y=x 对称。
- 若 f ( x , y ) = f ( y , x ) f(x, y) = f(y, x) f(x,y)=f(y,x)，则 I = 1 2 ∬ D x y ∪ D y x f ( x , y ) d x d y I = \frac{1}{2} \iint_{D_{xy} \cup D_{yx}} f(x, y) dxdy I=21∬Dxy∪Dyxf(x,y)dxdy，其中 D x y , D x D_{xy}, D_{x} Dxy,Dx 最多只有边界重叠。
-
二重积分计算：
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d y \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_a^b dx \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dy ∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dy
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dx ∬Df(x,y)dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr ∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr ∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr ∬Df(x,y)dσ=∫02πdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_0^{2\pi} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr ∬Df(x,y)dσ=∫02πdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
以下是您提供的无穷级数性质和计算公式的美化版本：
无穷级数性质
-
级数加减性质:
- ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) = ∑ n = 1 ∞ u n ± ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} v_n ∑n=1∞(un±vn)=∑n=1∞un±∑n=1∞vn
- 当 u n u_n un 和 v n v_n vn 都收敛时，级数收敛
- 当 u n u_n un 和 v n v_n vn 中有一个发散时，级数发散
- 当 u n u_n un 和 v n v_n vn 都发散时，级数可能收敛也可能发散
-
极限为零的收敛性:
- ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n ∑n=1∞an 收敛 ⇒ lim n → ∞ a n = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ⇒limn→∞an=0
比较判敛法
- 若 0 ≤ u n ≤ v n 0 \leq u_n \leq v_n 0≤un≤vn，且 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n ∑n=1∞vn 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 收敛；
- 若 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 发散，则 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n ∑n=1∞vn 发散。
- 对于正项级数，并且当
lim
n
→
∞
u
n
v
n
=
A
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = A
limn→∞vnun=A（其中
v
n
≠
0
v_n \neq 0
vn=0）时：
- 若 A ≠ 0 A \neq 0 A=0 且为常数，则两者同敛散。
- 若 A = 0 A = 0 A=0，且 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n ∑n=1∞vn 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 收敛。
- 若 A = + ∞ A = +\infty A=+∞，且 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n ∑n=1∞vn 发散，则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 发散。
比值判敛法
(适用于通项un 中含有n! 或关于n 的若干连乘积形式)
当通项
u
n
≥
0
u_n \geq 0
un≥0，对所有
n
=
1
,
2
,
…
n = 1, 2, \ldots
n=1,2,…，且
lim
n
→
∞
u
n
+
1
u
n
=
ρ
\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho
limn→∞unun+1=ρ 时：
- 当 ρ > 1 \rho > 1 ρ>1 时， ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 发散。
- 当 ρ = 1 \rho = 1 ρ=1 时，方法失效。
- 当 ρ < 1 \rho < 1 ρ<1 时， ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 收敛。
根值审敛法
- 正项级数 lim n → ∞ a n n = { < 1 收敛 = 1 无法确定 > 1 发散 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} =\begin{cases}< 1 & \text{收敛} \\= 1 & \text{无法确定} \\ > 1 & \text{发散}\end{cases} limn→∞nan =⎩ ⎨ ⎧<1=1>1收敛无法确定发散
莱布尼兹审敛法(交错级数)
- 若 u n ≥ u n + 1 u_n \geq u_{n+1} un≥un+1（ n = 1 , 2 , … n = 1, 2, \ldots n=1,2,…），且 lim n → ∞ u n = 0 \lim_{n \to \infty} u_n = 0 limn→∞un=0，则级数收敛。
两个常用的比较级数
等比级数
- ∑ n = 1 ∞ a r n − 1 = { a 1 − r , ∣ r ∣ < 1 发散 , ∣ r ∣ ≥ 1 \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \begin{cases} \frac{a}{1-r}, & |r| < 1 \\ \text{发散}, & |r| \geq 1 \end{cases} ∑n=1∞arn−1={1−ra,发散,∣r∣<1∣r∣≥1
p 级数
- ∑ n = 1 ∞ 1 n p = { 收敛 , p > 1 发散 , p ≤ 1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases} ∑n=1∞np1={收敛,发散,p>1p≤1
绝对收敛与条件收敛
- 绝对收敛: 若 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| ∑n=1∞∣un∣ 收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 绝对收敛, 且此时 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un一定也收敛.。
- 条件收敛: 若 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 收敛，但 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=1}^{\infty} |u_n| ∑n=1∞∣un∣ 发散，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n ∑n=1∞un 条件收敛。
求收敛域
-
给定极限比 lim n → ∞ ∣ u n + 1 ( x ) u n ( x ) ∣ = ρ ( x ) \lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| = \rho(x) limn→∞ un(x)un+1(x) =ρ(x) 或者 lim n → ∞ ∣ u n ( x ) ∣ n = ρ ( x ) \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} = \rho(x) limn→∞n∣un(x)∣ =ρ(x)。
-
解 ρ ( x ) < 1 \rho(x) < 1 ρ(x)<1 得到区间 ( a , b ) (a, b) (a,b)。
-
考虑端点 x = a x = a x=a 和 x = b x = b x=b。
欧拉公式
欧拉公式表示为：
- e i x = cos x + i sin x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx
- 正弦函数和余弦函数的欧拉形式：
- cos x = e i x + e − i x 2 \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} cosx=2eix+e−ix
- sin x = e i x − e − i x 2 \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} sinx=2eix−e−ix
三角级数
三角级数可以表达为：
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n sin ( n ω t + φ n ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( n x ) + b n sin ( n x ) ) f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\omega t + \varphi_n) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) f(t)=A0+∑n=1∞Ansin(nωt+φn)=2a0+∑n=1∞(ancos(nx)+bnsin(nx))
其中， a 0 = 2 A 0 a_0 = 2A_0 a0=2A0， a n = A n sin φ n a_n = A_n \sin \varphi_n an=Ansinφn， b n = A n cos φ n b_n = A_n \cos \varphi_n bn=Ancosφn， ω t = x \omega t = x ωt=x。
泰勒级数
泰勒级数表示为：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + … + ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + … f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + \ldots f(x)=∑n=0∞n!f(n)(x0)(x−x0)n=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+…+∑n=0∞n!f(n)(x0)(x−x0)n+…
麦克劳林级数
麦克劳林级数可写为：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + … + ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n + … f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \ldots f(x)=∑n=0∞n!f(n)(0)xn=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+…+∑n=0∞n!f(n)(0)xn+…
收敛条件
收敛充要条件为 lim n → ∞ R n ( x ) = 0 \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 limn→∞Rn(x)=0，其中 R n ( x ) = f ( x ) − ∑ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k Rn(x)=f(x)−∑k=0nk!f(k)(x0)(x−x0)k。
常见幂级数
- 1 1 − u = 1 + u + u 2 + … = ∑ n = 0 ∞ u n \frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} u^n 1−u1=1+u+u2+…=∑n=0∞un，在区间 ( − 1 , 1 ) (-1, 1) (−1,1) 收敛。
- 1 1 + u = 1 − u + u 2 − … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n u n \frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n 1+u1=1−u+u2−…=∑n=0∞(−1)nun，在区间 ( − 1 , 1 ) (-1, 1) (−1,1) 收敛。
- e u = 1 + u + u 2 2 ! + … = ∑ n = 0 ∞ u n n ! e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} eu=1+u+2!u2+…=∑n=0∞n!un，在整个实数范围 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (−∞,+∞) 收敛。
- sin u = u − u 3 3 ! + … + ( − 1 ) n u 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n u 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!} sinu=u−3!u3+…+(−1)n(2n+1)!u2n+1+…=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!u2n+1，在整个实数范围 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (−∞,+∞) 收敛。
- cos u = 1 − u 2 2 ! + u 4 4 ! − … + ( − 1 ) n u 2 n ( 2 n ) ! + … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n u 2 n ( 2 n ) ! \cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \ldots + (-1)^n \frac{u^{2n}}{(2n)!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n}}{(2n)!} cosu=1−2!u2+4!u4−…+(−1)n(2n)!u2n+…=∑n=0∞(−1)n(2n)!u2n，在整个实数范围 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (−∞,+∞) 收敛。
- ln ( 1 + u ) = u − u 2 2 + u 3 3 − … + ( − 1 ) n u n + 1 n + 1 + … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n u n + 1 n + 1 \ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \ldots + (-1)^n \frac{u^{n+1}}{n+1} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{n+1}}{n+1} ln(1+u)=u−2u2+3u3−…+(−1)nn+1un+1+…=∑n=0∞(−1)nn+1un+1，在区间 ( − 1 , 1 ] (-1, 1] (−1,1] 内收敛。
- ( 1 + u ) a = 1 + a u + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + … + a ( a − 1 ) . . . ( a − n + 1 ) n ! u n + … = ∑ n = 0 ∞ a ( a − 1 ) . . . ( a − n + 1 ) n ! u n (1 + u)^a = 1 + au + \frac{a(a-1)}{2!}u^2 + \ldots + \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}u^n + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!} u^n (1+u)a=1+au+2!a(a−1)u2+…+n!a(a−1)...(a−n+1)un+…=∑n=0∞n!a(a−1)...(a−n+1)un
傅里叶级数
-
对于周期为 2 l 2l 2l 的函数，其傅里叶级数表示为
f ( x ) ∼ 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( n π x l ) + b n sin ( n π x l ) f(x) \sim \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) f(x)∼21a0+∑n=1∞ancos(lnπx)+bnsin(lnπx)。其中， a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ( n π x l ) d x a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx an=l1∫−llf(x)cos(lnπx)dx， b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ( n π x l ) d x b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx bn=l1∫−llf(x)sin(lnπx)dx。
-
正弦级数： a n = 0 a_n = 0 an=0， b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin n x d x b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx dx bn=π2∫0πf(x)sinnxdx，其中 n = 1 , 2 , 3 , … n = 1, 2, 3, \ldots n=1,2,3,…。若 f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n sin n x f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx f(x)=∑n=1∞bnsinnx 是奇函数。
-
余弦级数： b n = 0 b_n = 0 bn=0， a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos n x d x a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx dx an=π2∫0πf(x)cosnxdx，其中 n = 0 , 1 , 2 , … n = 0, 1, 2, \ldots n=0,1,2,…。若 f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n x f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx f(x)=2a0+∑n=1∞ancosnx 是偶函数。
弧微分与曲率
-
弧微分 d s ds ds 定义为 d s = lim Δ x → 0 Δ x 2 + Δ y 2 ds = \lim_{\Delta x \to 0} \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} ds=limΔx→0Δx2+Δy2 ，可以表示为不同形式：
- 直角坐标系下： d s = 1 + ( y ′ ) 2 d x ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx ds=1+(y′)2 dx
- 参数方程下： d s = ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt ds=(x′(t))2+(y′(t))2 dt
- 极坐标系下： d s = r 2 + ( r ′ ) 2 d θ ds = \sqrt{r^2 + (r')^2}d\theta ds=r2+(r′)2 dθ
-
曲率 K K K 定义为 K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + ( y ′ ) 2 ) 3 / 2 K = \frac{\left|y''\right|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} K=(1+(y′)2)3/2∣y′′∣
-
曲率半径 R = 1 K R = \frac{1}{K} R=K1
三重积分
- 先一后二型： ∭ V f ( x , y , z ) d v = ∬ D x y d x d y ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z = ∫ c d ∫ a b ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d x d y \iiint_V f(x, y, z) dv = \iint_{D_{xy}}dx\,dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x, y, z) dz= \int_c^d \int_a^b \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x, y, z) dz\,dx\,dy ∭Vf(x,y,z)dv=∬Dxydxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz=∫cd∫ab∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dzdxdy
- 先二后一型： ∭ V f ( x , y , z ) d v = ∫ c 1 c 2 d z ∫ D z f ( x , y , z ) d x d y \iiint_V f(x, y, z) dv = \int_{c_1}^{c_2}\,dz \int_{D_z} f(x, y, z) dx\,dy ∭Vf(x,y,z)dv=∫c1c2dz∫Dzf(x,y,z)dxdy
- 柱坐标系： ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 R ∫ c d f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d r d θ d z \iiint_\Omega f(x, y, z) dv = \int_0^2\pi \int_0^R \int_c^d f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \,dr\,d\theta\,dz ∭Ωf(x,y,z)dv=∫02π∫0R∫cdf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
- 球坐标系： ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∭ Ω f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \iiint_\Omega f(x, y, z) dv = \iiint_\Omega f(r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi) r^2 \sin \phi \,dr\,d\phi\,d\theta ∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ)r2sinϕdrdϕdθ
- 关于
x
O
y
xOy
xOy对称：可根据函数关于
z
z
z 的奇偶性简化积分。
∭ Ω f ( x , y , z ) d v = { 2 ∬ D z > 0 f ( x , y , z ) d v , f ( x , y , z ) 关于 z 是奇函数 0 , f ( x , y , z ) 关于 z 是奇函数 \iiint_\Omega f(x, y, z) dv = \begin{cases}2\iint_{D_{z>0}} f(x, y, z) dv, & \ f(x, y, z)关于z是奇函数 \\0,& \ f(x, y, z) 关于z是奇函数 \end{cases} ∭Ωf(x,y,z)dv={2∬Dz>0f(x,y,z)dv,0, f(x,y,z)关于z是奇函数 f(x,y,z)关于z是奇函数
向量代数与空间几何（一）
- 点到平面的距离：点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) M(x_0, y_0, z_0) M(x0,y0,z0) 到平面 π : A x + B y + C z + D = 0 \pi : Ax + By + Cz + D = 0 π:Ax+By+Cz+D=0 的距离为 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} d=A2+B2+C2 ∣Ax0+By0+Cz0+D∣
- 常见曲面：
- 椭球面： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 a2x2+b2y2+c2z2=1
- 抛物面： x 2 2 p + y 2 2 q = z \frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z 2px2+2qy2=z （ p p p 和 q q q 同号）
- 单叶双曲面： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 a2x2+b2y2−c2z2=1
- 双叶双曲面： x 2 a 2 − y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 a2x2−b2y2+c2z2=1（马鞍面）
线面积分（一）
设
L
L
L 参数方程为
{
x
=
φ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
,
(
α
≤
t
≤
β
)
\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}, (\alpha \leq t \leq \beta)
{x=φ(t)y=ψ(t),(α≤t≤β)
则第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）为：
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
α
β
f
[
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
φ
′
(
t
)
2
+
ψ
′
(
t
)
2
d
t
(
α
<
β
)
\int_L f(x, y)ds = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t), \psi(t)]\sqrt{\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2} dt (\alpha < \beta)
∫Lf(x,y)ds=∫αβf[φ(t),ψ(t)]φ′(t)2+ψ′(t)2
dt(α<β)
特殊情况：
如果参数方程为
{
x
=
t
y
=
φ
(
t
)
\begin{cases} x = t \\ y = \varphi(t) \end{cases}
{x=ty=φ(t)
则第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）为：
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
α
β
[
P
[
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
φ
′
(
t
)
+
Q
[
φ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
]
d
t
\int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int_\alpha^\beta [P[\varphi(t), \psi(t)]\varphi'(t) + Q[\varphi(t), \psi(t)]\psi'(t)] dt
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P[φ(t),ψ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)]dt
两类曲线积分之间的关系是：
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
L
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
)
d
s
\int_L P dx + Q dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta) ds
∫LPdx+Qdy=∫L(Pcosα+Qcosβ)ds
格林公式：
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ C ( P d x + Q d y ) \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = \oint_C (Pdx + Qdy) ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)
平面上曲线积分与路径无关的条件:
- G单连通
- P ( x , y ) , Q ( x , y ) P(x, y), Q(x, y) P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，并且 ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q=∂y∂P
注意奇点，如 (0, 0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反!
对面积的曲面积分:
曲面积分公式:
∬
Σ
f
(
x
,
y
,
z
)
d
s
=
∬
D
f
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
]
1
+
z
x
2
(
x
,
y
)
+
z
y
2
(
x
,
y
)
d
x
d
y
\iint_{\Sigma} f(x, y, z) ds = \iint_{D} f[x, y, z(x, y)]\sqrt{1 + z^2_x(x, y) + z^2_y(x, y)} dxdy
∬Σf(x,y,z)ds=∬Df[x,y,z(x,y)]1+zx2(x,y)+zy2(x,y)
dxdy
对坐标的曲面积分:
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
z
d
x
+
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
\iint_{\Sigma} P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy
∬ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy
两类曲面积分之间的关系:
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
=
∮
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
=
∭
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\iint_{\Sigma} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \oint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds=\iiint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∮Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds=∭Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
高斯公式（散度与通量）:
高斯公式:
∭
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
v
=
∬
Σ
(
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
)
=
∬
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dv = \iint_{\Sigma} (P dydz + Q dzdx + R dxdy) = \iint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds
∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∬Σ(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
斯托克斯公式（曲线与曲面）:
斯托克斯公式:
∬
Σ
(
∂
R
∂
y
−
∂
Q
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
P
∂
z
−
∂
R
∂
x
)
d
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
=
∮
Γ
(
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
)
\begin{aligned} \iint_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dydz &+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dzdx \\ &+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy \\ &= \oint_{\Gamma} (Pdx + Qdy + Rdz) \end{aligned}
∬Σ(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮Γ(Pdx+Qdy+Rdz)
空间曲线积分与路径无关的条件:
- ∂ R ∂ y = ∂ Q ∂ z \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z} ∂y∂R=∂z∂Q
- ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x} ∂z∂P=∂x∂R
- ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q=∂y∂P
导数经济学（一，二）
- 边际函数:
- 边际成本: C ′ ( Q ) C'(Q) C′(Q)
- 平均边际成本: ( C ( Q ) Q ) ′ \left(\frac{C(Q)}{Q}\right)' (QC(Q))′
- 边际需求: Q ′ ( P ) Q'(P) Q′(P)
- 边际收益: R ′ ( Q ) = P ( Q ) + Q P ′ ( Q ) R'(Q) = P(Q) + QP'(Q) R′(Q)=P(Q)+QP′(Q)
- 边际利润: L ′ ( Q ) = R ′ ( Q ) − C ′ ( Q ) L'(Q) = R'(Q) - C'(Q) L′(Q)=R′(Q)−C′(Q)$
【注】利润最大原则: L ′ ( Q ) = 0 , L ′ ′ ( Q ) < 0 L'(Q) = 0, L''(Q) < 0 L′(Q)=0,L′′(Q)<0, 即 R ′ ( Q ) = C ′ ( Q ) , R ′ ′ ( Q ) < C ′ ′ ( Q ) R'(Q) = C'(Q), R''(Q) < C''(Q) R′(Q)=C′(Q),R′′(Q)<C′′(Q)
- 弹性函数:
-
需求价格弹性: E d p = − d Q d P ⋅ P Q E_{dp} = -\frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} Edp=−dPdQ⋅QP
-
供给价格弹性: E s p = d S d P ⋅ P S E_{sp} = \frac{dS}{dP} \cdot \frac{P}{S} Esp=dPdS⋅SP
-
成本需求弹性: E c q = d C d Q ⋅ Q C E_{cq} = \frac{dC}{dQ} \cdot \frac{Q}{C} Ecq=dQdC⋅CQ
-
收益价格弹性: E p = d R d P ⋅ P R E_p = \frac{dR}{dP} \cdot \frac{P}{R} Ep=dPdR⋅RP
【注】 E r p = [ Q + P d Q d P ] ⋅ P P Q = 1 + d Q d P ⋅ P Q = 1 − η E_{rp} = [Q + P\frac{dQ}{dP}] \cdot \frac{P}{PQ} = 1 + \frac{dQ}{dP} \cdot {\frac{P}{Q}} = 1 - \eta Erp=[Q+PdPdQ]⋅PQP=1+dPdQ⋅QP=1−η
-
收益需求弹性: E r q = d R d Q ⋅ Q R E_{rq} = \frac{dR}{dQ} \cdot \frac{Q}{R} Erq=dQdR⋅RQ
【注】 E r q = [ d P d Q Q + P ] ⋅ Q P Q = 1 + d P d Q ⋅ Q P = 1 − 1 η E_{rq} = [\frac{dP}{dQ}Q+ {P} ] \cdot \frac{Q}{PQ} =1 + \frac{dP}{dQ} \cdot \frac{Q}{P} = 1 - \frac{1}{\eta} Erq=[dQdPQ+P]⋅PQQ=1+dQdP⋅PQ=1−η1
-