写在「开始」之前：由于笔者在八年级时就开始学习高等数学，由于学习速度比较快，可能有的地方有缺失或疏漏，如有不足之处请指出，thx

一、 映射与连续

1.定义：

设 \(A\) 与 \(B\) 是两个非空集合，如果我们定义一种对应关系 \(f\) , 使得对于 \(A\) 中的每一个元素 \(a\)，通过 \(f\) 处理之后，在 \(B\) 中总有对应的唯一元素 \(b\) 与其相对应，我们就称这就叫做从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，记作 \(f:A → B\) 其中 \(b\) 称作元素 \(a\) 在映射 \(f\) 下的像，记作 \(b = f(a)\)，\(A\) 中的元素称作原像或者逆像，\(B\) 中的元素称作像，我们将 \(A\) 称作定义域， \(B\) 称作值域

2.单射与满射

若 \(B\) 里的每个元素，都被 \(A\) 中的元素所对应，叫做满射。
相类似的，若 \(B\) 的每个元素只被 \(A\) 的元素唯一对应，或者没有被 \(A\) 中的元素对应，叫做单射。
特别的，既是单射又是满射的，叫作双射，也叫一一映射。
读者可能对这两个定义有些不理解，我们通过几个例子来详细解释一下：
例一：
集合\(A：\{1,2,3,4,5\}\)

集合\(B：\{1,4,9,16,25\}\)

我们可以通过对 \(A\) 中的每个元素进行平方运算，对应到 \(B\) 中相应的元素：

\(1→1，2→4，3→9，4→16，5→25\)

在这个例子中，\(B\) 里的每个元素，都被 \(A\) 中的元素所对应，是一种满射，并且 \(B\) 的每个元素只被 \(A\) 的元素唯一对应，或者没有被 \(A\) 中的元素对应，叫做单射。

综上我们可以得到：由 \(A\) 到 \(B\) 的映射是一种双射

例二：
集合\(C：\{牛，马，蚂蚁，蜘蛛，鸭子\}\)

集合\(D：\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

我们可以通过对C中的每个元素，数它的腿的个数（健全的情况下），对应到D中相应的元素：

牛 \(→ 4\)，马\(→4\)，蚂蚁\(→6\)，蜘蛛\(→8\)，鸭子\(→2\)

这也是一种映射,但是在例二中，\(D\) 中的\(1,3,5,7\)未被 \(C\) 中的元素对应，因此不是满射，并且，\(D\) 中的 \(4\) 同时被牛和马对应，因此不是单射。