这一篇涉及剩余的几个性质
⑤对称性（互易特性）
⑥时/频域卷积
⑦时域微/积分特性
⑧频域微/积分特性
1 对称性（互易特性）
-
总的来说，有：
若 f ( t ) ↔ F ( j w ) f(t)\leftrightarrow{F(jw)} f(t)↔F(jw)
则 F ( j t ) ↔ 2 π f ( − w ) F(jt)\leftrightarrow{2\pi f(-w)} F(jt)↔2πf(−w)
简单说就是：发现一个时域信号 F ( j t ) F(jt) F(jt) 与另一个时域信号 f ( t ) f(t) f(t) 经傅里叶变换得到的频谱函数 F ( j w ) F(jw) F(jw) 的图像十分相似，就可以轻松地得到 F ( j t ) F(jt) F(jt) 这个时域信号对应的频谱函数 -
如果 f ( t ) f(t) f(t) 为实数偶函数，则其频谱函数 F ( j ω ) F(jω) F(jω) 是 ω ω ω 的实数偶函数
若 f ( t ) ↔ F ( w ) f(t)\leftrightarrow F(w) f(t)↔F(w)
则 F ( t ) ↔ 2 π f ( w ) F(t)\leftrightarrow 2\pi f(w) F(t)↔2πf(w)
例1、直流信号与冲激信号
由：
f
(
t
)
=
δ
(
t
)
↔
F
(
w
)
=
1
f(t)=\delta(t)\leftrightarrow F(w)=1
f(t)=δ(t)↔F(w)=1
则：
F [ F ( t ) ] = 2 π δ ( w ) \mathscr{F}[{F(t)}]=2\pi\delta(w) F[F(t)]=2πδ(w)
例2、求
F
−
1
[
g
τ
(
t
)
]
\mathscr{F}^{-1}[g_\tau(t)]
F−1[gτ(t)]
先判断
f
(
t
)
=
f
(
−
t
)
f(t)=f(-t)
f(t)=f(−t) ，是实数偶函数
由：
f ( t ) = g τ ( t ) ↔ F ( w ) = τ S a ( τ 2 w ) f(t)=g_\tau(t)\leftrightarrow F(w)=\tau Sa(\frac{\tau}{2}w) f(t)=gτ(t)↔F(w)=τSa(2τw)
则：
F ( t ) = τ S a ( τ 2 t ) ↔ F [ F ( t ) ] = 2 π g τ ( w ) F(t)=\tau Sa(\frac{\tau}{2}t)\leftrightarrow \mathscr{F}[F(t)]=2\pi g_\tau(w) F(t)=τSa(2τt)↔F[F(t)]=2πgτ(w)
要求得 g τ ( w ) g_\tau(w) gτ(w)，根据线性特性，两边同时乘以 1 2 π \frac{1}{2\pi} 2π1，则：
τ 2 π S a ( τ 2 t ) ↔ g τ ( w ) \frac{\tau}{2\pi} Sa(\frac{\tau}{2}t)\leftrightarrow{g_\tau(w)} 2πτSa(2τt)↔gτ(w)
例3、求
F
[
1
t
2
+
1
]
\mathscr{F}[\frac{1}{t^2+1}]
F[t2+11]
注：这里视自变量
t
t
t 为 公共自变量
X
X
X，可以提高辨别度：
1
X
2
+
1
2
\frac{1}{X^2+1^2}
X2+121
容易想到的是
F
[
e
−
a
∣
t
∣
]
\mathscr{F}[e^{-a|t|}]
F[e−a∣t∣] 的分母也是
X
2
+
a
2
X^2+a^2
X2+a2 （
a
a
a 是个常数）
当
a
=
1
a=1
a=1 时恰好对应：
F
[
e
−
∣
t
∣
]
=
2
∗
1
X
2
+
1
\mathscr{F}[e^{-|t|}]=\frac{2*1}{X^2+1}
F[e−∣t∣]=X2+12∗1
f ( t ) = 1 2 e − ∣ t ∣ ↔ F ( w ) = 1 w 2 + 1 f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}\leftrightarrow F(w)=\frac{1}{w^2+1} f(t)=21e−∣t∣↔F(w)=w2+11
则：
F ( t ) = 1 t 2 + 1 ↔ 1 2 2 π e − ∣ w ∣ = π e − ∣ w ∣ F(t)=\frac{1}{t^2+1}\leftrightarrow \frac{1}{2}2\pi e^{-|w|}=\pi e^{-|w|} F(t)=t2+11↔212πe−∣w∣=πe−∣w∣
例4、求
F
[
1
t
]
\mathscr{F}[\frac{1}{t}]
F[t1]
因为
F
[
S
g
n
(
t
)
]
=
2
j
w
\mathscr{F}[Sgn(t)]=\frac{2}{jw}
F[Sgn(t)]=jw2 ，（
w
≠
0
w\neq 0
w=0 ）
若：
j S g n ( t ) 2 ↔ 1 w j\frac{Sgn(t)}{2}\leftrightarrow\frac{1}{w} j2Sgn(t)↔w1
则：
1 t ↔ j π S g n ( − w ) = − j π S g n ( w ) \frac{1}{t}\leftrightarrow j\pi Sgn(-w)=-j\pi Sgn(w) t1↔jπSgn(−w)=−jπSgn(w)
2 时/频域卷积
2-1 时域卷积
若：
{ f 1 ( t ) ↔ F 1 ( j w ) f 2 ( t ) ↔ F 2 ( j w ) \begin{cases} f_1(t)\leftrightarrow F_1(jw)\\ f_2(t)\leftrightarrow F_2(jw)\\ \end{cases} {f1(t)↔F1(jw)f2(t)↔F2(jw)
则
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
↔
F
1
(
j
w
)
⋅
F
2
(
j
w
)
f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(jw)\cdot F_2(jw)
f1(t)∗f2(t)↔F1(jw)⋅F2(jw)
要求
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t) 与
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t) 的卷积，即求
F
−
1
[
F
1
(
j
w
)
⋅
F
2
(
j
w
)
]
\mathscr{F}^{-1}[F_1(jw)\cdot F_2(jw)]
F−1[F1(jw)⋅F2(jw)]
证明 F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( j w ) ⋅ F 2 ( j w ) \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw) F[f1(t)∗f2(t)]=F1(jw)⋅F2(jw) ：
F
[
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
]
=
F
[
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
τ
)
⋅
f
2
(
t
−
τ
)
d
τ
]
\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\mathscr{F}[\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)\cdot f_2(t-\tau)d\tau]
F[f1(t)∗f2(t)]=F[∫−∞+∞f1(τ)⋅f2(t−τ)dτ]
=
∫
−
∞
+
∞
[
∫
−
∞
+
∞
f
1
(
τ
)
⋅
f
2
(
t
−
τ
)
d
τ
]
e
−
j
w
t
d
t
=\int^{+\infty}_{-\infty}\Big[\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)\cdot f_2(t-\tau)d\tau\Big]e^{-jwt}dt
=∫−∞+∞[∫−∞+∞f1(τ)⋅f2(t−τ)dτ]e−jwtdt
d
τ
d\tau
dτ 提到外面，
d
t
dt
dt 提进去：
= ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t − τ ) e − j w t d t ] f 1 ( τ ) d τ =\int^{+\infty}_{-\infty}\Big[\int^{+\infty}_{-\infty}f_2(t-\tau)e^{-jwt}dt\Big]f_1(\tau)d\tau =∫−∞+∞[∫−∞+∞f2(t−τ)e−jwtdt]f1(τ)dτ
其中
∫
−
∞
+
∞
f
2
(
t
−
τ
)
e
−
j
w
t
d
t
\int^{+\infty}_{-\infty}f_2(t-\tau)e^{-jwt}dt
∫−∞+∞f2(t−τ)e−jwtdt 就是频谱函数
令
t
′
=
t
±
t
0
t'=t\pm t_0
t′=t±t0：
∫ − ∞ + ∞ f ( t ± t 0 ) e − j w t d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ′ ) e − j w ( t ′ ∓ t 0 ) d t ′ = e ± j w t 0 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ′ ) e − j w t ′ d t ′ \int^{+\infty}_{-\infty}f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t')e^{-jw(t'\mp t_0)}dt'=e^{\pm jwt_0}\int^{+\infty}_{-\infty}f(t')e^{-jwt'}dt' ∫−∞+∞f(t±t0)e−jwtdt=∫−∞+∞f(t′)e−jw(t′∓t0)dt′=e±jwt0∫−∞+∞f(t′)e−jwt′dt′
由于
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
′
)
e
−
j
w
t
′
d
t
′
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
j
w
t
d
t
\int^{+\infty}_{-\infty}f(t')e^{-jwt'}dt'=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt
∫−∞+∞f(t′)e−jwt′dt′=∫−∞+∞f(t)e−jwtdt
用
t
t
t 替换掉
t
′
t'
t′：
∫ − ∞ + ∞ f ( t ± t 0 ) e − j w t d t = e ± j w t 0 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t = e ± j w t 0 F ( j w ) \int^{+\infty}_{-\infty}f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt=e^{\pm jwt_0}\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt=e^{\pm jwt_0}F(jw) ∫−∞+∞f(t±t0)e−jwtdt=e±jwt0∫−∞+∞f(t)e−jwtdt=e±jwt0F(jw)
其实上面一小段证明的就是傅里叶变换的时移性质
则：
F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 2 ( j w ) ∫ − ∞ + ∞ e − j w τ f 1 ( τ ) d τ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_2(jw)\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jw\tau}f_1(\tau)d\tau F[f1(t)∗f2(t)]=F2(jw)∫−∞+∞e−jwτf1(τ)dτ
其中
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
w
τ
f
1
(
τ
)
d
τ
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jw\tau}f_1(\tau)d\tau
∫−∞+∞e−jwτf1(τ)dτ，可以用
t
t
t 代替
τ
\tau
τ，则
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
w
τ
f
1
(
τ
)
d
τ
=
F
1
(
j
w
)
\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jw\tau}f_1(\tau)d\tau=F_1(jw)
∫−∞+∞e−jwτf1(τ)dτ=F1(jw)
整合后即证得：
F
[
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
]
=
F
1
(
j
w
)
⋅
F
2
(
j
w
)
\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw)
F[f1(t)∗f2(t)]=F1(jw)⋅F2(jw)
由上面的结论易知：
F [ g τ 2 ( t ) ] = τ 2 S a 2 ( w τ 2 ) \mathscr{F}[g_\tau^2(t)]=\tau^2Sa^2(\frac{w\tau}{2}) F[gτ2(t)]=τ2Sa2(2wτ)
2-1-1 时域卷积应用
在求解系统 Z S R 零状态相应 ZSR零状态相应 ZSR零状态相应 时，时域中， y ( t ) = f ( t ) ∗ h ( t ) y(t)=f(t)*h(t) y(t)=f(t)∗h(t)，可以先求出 f ( t ) 与 h ( t ) f(t)与h(t) f(t)与h(t) 各自的频谱函数，二者点乘后得到 y ( t ) y(t) y(t) 的频谱函数，再进行傅里叶反变换
2-2 频域卷积
直接给出结论：
f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ↔ 1 2 π F 1 ( j w ) ∗ F 2 ( j w ) f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(jw)*F_2(jw) f1(t)⋅f2(t)↔2π1F1(jw)∗F2(jw)
可以搭配 F − 1 [ f ( t ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( j w ) e j w t d w \mathscr{F}^{-1}[f(t)]=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(jw)e^{jwt}dw F−1[f(t)]=2π1∫−∞+∞F(jw)ejwtdw 公式记忆，而时域卷积 F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( j w ) ⋅ F 2 ( j w ) \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw) F[f1(t)∗f2(t)]=F1(jw)⋅F2(jw) 可搭配 F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t \mathscr{F}[f(t)]=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt F[f(t)]=∫−∞+∞f(t)e−jwtdt 公式记忆
3 时域微/积分特性
3-1 时域微分特性
若
f
(
t
)
↔
F
(
j
w
)
f(t)\leftrightarrow F(jw)
f(t)↔F(jw)
则
d
d
t
[
f
(
t
)
]
↔
j
w
F
(
j
w
)
\frac{d}{dt}[f(t)]\leftrightarrow jwF(jw)
dtd[f(t)]↔jwF(jw)
证明
j
w
F
(
j
w
)
jwF(jw)
jwF(jw) 的傅里叶反变换为
d
d
t
[
f
(
t
)
]
\frac{d}{dt}[f(t)]
dtd[f(t)] ：
由
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
j
w
)
e
j
w
t
d
w
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(jw)e^{jwt}dw
f(t)=2π1∫−∞+∞F(jw)ejwtdw，两边同时对
t
t
t 求导得：
d d t [ f ( t ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( j w ) ⋅ d d t ( e j w t ) d w = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ j w F ( j w ) ⋅ e j w t d w \frac{d}{dt}[f(t)]=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(jw)\cdot\frac{d}{dt}(e^{jwt})dw=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}jwF(jw)\cdot e^{jwt}dw dtd[f(t)]=2π1∫−∞+∞F(jw)⋅dtd(ejwt)dw=2π1∫−∞+∞jwF(jw)⋅ejwtdw
例：冲激信号与直流信号
由
f
(
t
)
=
δ
(
t
)
↔
F
(
w
)
=
1
f(t)=\delta(t)\leftrightarrow F(w)=1
f(t)=δ(t)↔F(w)=1：
则：
δ
(
n
)
(
t
)
↔
(
j
w
)
n
\delta^{(n)}(t)\leftrightarrow (jw)^n
δ(n)(t)↔(jw)n
3-1-1 时域微分特性的应用
易知：可以将一个复杂的信号进行 n n n 次求导直至变成一个熟悉的信号（已知该信号的频谱函数），将这个熟悉的信号的频谱函数除以 n n n 次 j w jw jw 即可得到复杂信号的频谱函数
- 例：梯形信号
对 f ( t ) f(t) f(t) 求一阶导得到两端矩形信号，再做一次求导得到4个冲激信号：
3-2 时域积分特性
若
f
(
t
)
↔
F
(
j
w
)
f(t)\leftrightarrow F(jw)
f(t)↔F(jw)
则
∫
−
∞
t
f
(
τ
)
d
τ
↔
π
F
(
0
)
δ
(
w
)
+
F
(
j
w
)
j
w
\int^t_{-\infty}f(\tau)d\tau\leftrightarrow \pi F(0)\delta(w)+\frac{F(jw)}{jw}
∫−∞tf(τ)dτ↔πF(0)δ(w)+jwF(jw)
证明：
由 ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ = f ( t ) ∗ u ( t ) \int^t_{-\infty}f(\tau)d\tau=f(t)*u(t) ∫−∞tf(τ)dτ=f(t)∗u(t)，根据时域卷积性质 F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( j w ) ⋅ F 2 ( j w ) \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw) F[f1(t)∗f2(t)]=F1(jw)⋅F2(jw)，易得：
F [ f ( t ) ∗ u ( t ) ] = F ( j w ) ⋅ [ π δ ( w ) + 1 j w ] \mathscr{F}[f(t)*u(t)]=F(jw)\cdot[\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}] F[f(t)∗u(t)]=F(jw)⋅[πδ(w)+jw1]
根据 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的采样性质 f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)：
F [ f ( t ) ∗ u ( t ) ] = π F ( 0 ) δ ( w ) + F ( j w ) j w \mathscr{F}[f(t)*u(t)]=\pi F(0)\delta(w)+\frac{F(jw)}{jw} F[f(t)∗u(t)]=πF(0)δ(w)+jwF(jw)
其中 F ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e 0 d t F(0)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^0dt F(0)=∫−∞+∞f(t)e0dt
4 频域微/积分特性
4-1 频域的微分特性
若
f
(
t
)
↔
F
(
j
w
)
f(t)\leftrightarrow F(jw)
f(t)↔F(jw)
则
(
−
j
t
)
n
f
(
t
)
↔
F
(
n
)
(
j
w
)
(-jt)^nf(t)\leftrightarrow F^{(n)}(jw)
(−jt)nf(t)↔F(n)(jw)
拓展：
t
f
(
t
)
↔
j
F
′
(
j
w
)
tf(t)\leftrightarrow jF'(jw)
tf(t)↔jF′(jw)，
t
n
f
(
t
)
↔
j
n
F
(
n
)
(
j
w
)
t^nf(t)\leftrightarrow j^nF^{(n)}(jw)
tnf(t)↔jnF(n)(jw)
- 例、求
F
[
∣
t
∣
]
\mathscr{F}[|t|]
F[∣t∣]
其中 ∣ t ∣ = t ⋅ S g n ( t ) |t|=t\cdot Sgn(t) ∣t∣=t⋅Sgn(t)，可视 f ( t ) = S g n ( t ) f(t)=Sgn(t) f(t)=Sgn(t)，且 S g n ( t ) ↔ 2 j w Sgn(t)\leftrightarrow\frac{2}{jw} Sgn(t)↔jw2
则：
F [ ∣ t ∣ ] = j ( 2 j w ) ′ = − 2 w 2 \mathscr{F}[|t|]=j(\frac{2}{jw})'=\frac{-2}{w^2} F[∣t∣]=j(jw2)′=w2−2
4-2 频域的积分特性
若
f
(
t
)
↔
F
(
j
w
)
f(t)\leftrightarrow F(jw)
f(t)↔F(jw)
则
π
f
(
0
)
δ
(
t
)
+
f
(
t
)
−
j
t
↔
∫
−
∞
w
F
(
η
)
d
η
\pi f(0)\delta(t)+\frac{f(t)}{-jt}\leftrightarrow \int^w_{-\infty}F(\eta)d\eta
πf(0)δ(t)+−jtf(t)↔∫−∞wF(η)dη
- 例、抽样函数
S
a
(
t
)
=
s
i
n
(
t
)
t
Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}
Sa(t)=tsin(t)
由于 s i n ( t ) t \frac{sin(t)}{t} tsin(t) 与 f ( t ) − j t \frac{f(t)}{-jt} −jtf(t) 很相似，则视 f ( t ) = s i n ( t ) f(t)=sin(t) f(t)=sin(t)
又因为 s i n ( t ) ↔ j π [ δ ( w + 1 ) − δ ( w − 1 ) ] sin(t)\leftrightarrow j\pi[\delta(w+1)-\delta(w-1)] sin(t)↔jπ[δ(w+1)−δ(w−1)]，则：
π f ( 0 ) δ ( t ) + s i n ( t ) − j t ↔ ∫ − ∞ w j π [ δ ( η + 1 ) − δ ( η − 1 ) ] d η \pi f(0)\delta(t)+\frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow \int^w_{-\infty}j\pi[\delta(\eta+1)-\delta(\eta-1)]d\eta πf(0)δ(t)+−jtsin(t)↔∫−∞wjπ[δ(η+1)−δ(η−1)]dη
则：
s i n ( t ) − j t ↔ j π ∫ − ∞ w [ δ ( η + 1 ) − δ ( η − 1 ) ] d η \frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow j\pi\int^w_{-\infty}[\delta(\eta+1)-\delta(\eta-1)]d\eta −jtsin(t)↔jπ∫−∞w[δ(η+1)−δ(η−1)]dη
s
i
n
(
t
)
−
j
t
↔
j
π
[
u
(
w
+
1
)
−
u
(
w
−
1
)
]
\frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow j\pi[u(w+1)-u(w-1)]
−jtsin(t)↔jπ[u(w+1)−u(w−1)]
s
i
n
(
t
)
t
↔
π
[
u
(
w
+
1
)
−
u
(
w
−
1
)
]
=
π
g
2
(
w
)
\frac{sin(t)}{t}\leftrightarrow \pi[u(w+1)-u(w-1)]=\pi g_2(w)
tsin(t)↔π[u(w+1)−u(w−1)]=πg2(w)