【定义】
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向量:每个向量由若干个标量(数)组成,每个标量都来自同一个域 \(F\)。若一个向量包含 \(k\) 个标量,称其为 \(k\) 维向量。
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向量空间 \(V\):由若干个向量组成。需要满足以下条件:
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\(V\) 中的向量满足加法交换律和加法结合律。
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\(V\) 中存在 \(0\) 向量,\(\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}\)。
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若 \(\vec{u}\in V\),则 \(-\vec{u}\in V\)。
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记 \(a,b\) 为标量,\(a(b\vec{u})=(ab)\vec{u},(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}\)。
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记 \(a\) 为标量,\(a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}\)。
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线性表示:若有向量 \(\vec{v},\vec{a_1}\sim\vec{a_n}\),且存在一组标量 \((k_1\sim k_n)\) 使得 \(\vec{v}=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\vec{a_i}\),则 \(\vec{v}\) 可被 \(\vec{a_1}\sim\vec{a_n}\) 线性表示。
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线性相关:对于一个向量空间 \(V\) 内的 \(n\) 个向量 \((\vec{v_1},\vec{v_2},\dots,\vec{v_n})\),若存在一组标量 \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) 满足 \(a_1\sim a_n\) 不全为 \(0\) 且 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i\vec{v_i}=\vec{0}\),则称 \(\vec{v_1}\sim \vec{v_n}\) 线性相关。
线性相关还有另外一个表述方式:\(\forall i\in [1,n]\cap\mathbb{Z},\vec{v_i}\) 不可被 \(\{\vec{v_1}\sim\vec{v_n}\}/\{\vec{v_i}\}\) 线性表示。