不那么有意思的定义

卡特兰数\(\big(Catalan\big)\)用 \(H\) 来表示，有形式如:

\(H_n=\dfrac{\binom {2n} n}{n+1} （n\geq2）\)

很好，你已经知道定义了。

老师说：它是栈出栈入栈的\(方案数\) \(???\)

放到一个递推式就有了：

\(H_n= \begin{cases} H_{n-1}+H_{n-2} &\text{if } {n \geq 2} \\ 1 &\text{if } n=0,1 \end{cases}\)

好了，你知道递推式了

解决不那么实际的问题

那么，我们引入一个问题：
对于一个大大的 \(n\times n\) 网格图，我们有一个点从 \((0,0)\) 走向 \((n,n)\)，并且这个点只能向右或者向上走，但是，它不能碰到 \(y=x\) 这一直线

这个问题叫做——‘路径计数问题’。

不那么合理的解决方案

我们选择画一个图：

如图所示，从 \((0,0)\) 开始只能到达 \((1,0)\)， 同理 \((n,n)\) 只能从 \((n,n-1)\) 转移过来，我们知道，假设我们没有那一条斜率为 \(1\) 的智障直线，我们就能有 \(\binom {2n-2} {n-1}\) 的方案数，这时候，我们把多余的方案去掉，我们把最后离开或者超于这条直线的点到 \((1,0)\) 都关于 \(y=x\) 对称。于是，我们就能轻松将多于的方案算出来，此时从 \((0,1)\) 到 \((n,n-1)\) 就有 \(\binom {2n-2} {n}\) 的方案数。

然后

就有了结论 \(\binom {2n-2} {n-1}-\binom {2n-2} {n}\) 就是当前答案的……一部分

我们这时候加上开头的两个点，便有了 \(2 \bigg(\binom {2n-2} {n-1}-\binom {2n-2} {n}\bigg)\)，这时候某些人觉得它太丑陋了。

所以，我们化简这个式子：

原式
\(=2\times \dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!\times(n-1)!}-2\times \dfrac{(2n-2)!}{n!\times(n-2)!}\)

$ = 2 \times \dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!}\times \bigg( \dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{(n-2)! \times n}\bigg)$

\(=\dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!}\times\bigg(\dfrac{2 \times n}{(n-1)! \times n}-\dfrac{2\times(n-1)}{(n-1)! \times n}\bigg)\)

\(=\dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!}\times \dfrac{2}{(n-1)! \times n}\)

\(=\dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!\times (n-1)! }\times \dfrac{2}{n}\)

\(=\dbinom {2n-2} {n-1}\times \dfrac{2}{n}\)

放入原问题就有了结论\(\dbinom {2n} {n}\times \dfrac{2}{n+1}\)

不那么好看的文献

这就是卡特兰数和它主要延伸出的问题了，更多的，点这里。

不那么简单的题目

[AHOI2012] 树屋阶梯
[HNOI2009] 有趣的数列