向量
咕。
线性方程组
定义
线性方程组指的是形如
\[\begin{aligned} a_{11}&x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}&x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ &\vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ddots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ a_{m1}&x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{aligned} \]的方程组。其中我们肯定很熟悉二元一次方程组的解法，而这也属于线性方程组。
其中数字 \(b_i\) 叫做第 \(i\) 个方程的常数项。特别的，如果所有 \(b_i=0\)，那么则称这个方程组是齐次的。这个方程组就是上个方程组相对应的齐次方程组，或称上个方程组的诱导组。而未知数的系数正好可以排成一个长方形的表。
\[\begin{pmatrix} &a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\\ &a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\\ &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\ &a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}& \end{pmatrix} \]叫做一个 \(m\times n\) 的矩阵。如果 \(n=m\)，则称作是 \(n\) 阶方阵。可以用 \((a_{i,j})\) 或大写字母（通常用 \(A\)）简示。第 \(i\) 行，第 \(j\) 列的元素是 \(a_{i,j}\)，读作 \(a-i-j\)（zfy 注）。自然地，我们使用 \((a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})\) 表示上面矩阵的第 \(i\) 行。而对于某一列，我们使用中括号，即 \([a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}]\)，来表示。当矩阵是一个方阵时，我们称元素 \(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\) 组成了该矩阵的主对角线。如果除了主对角线，其他元素都是 \(0\)，那么则称该方阵为对角矩阵，有时记作：
\[\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}) \]当一个对角矩阵满足 \(a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=k\)，那么就称该方阵为纯量矩阵，记作 \(\operatorname{diag}_n(k)\)。\(\operatorname{diag}_n(1)\) 称作单位矩阵，通常记作 \(E_{n}\)，当矩阵阶数确定时可简记为 \(E\)。（个人常把它记为 \(I\)）
同时，我们定义最开始的方程组的增广矩阵为 \((a_{i,j}|b_j)\)。即在上面那个矩阵后面加一列 \([b_1,b_2,\cdots,b_m]\) 来表示常系数。为清楚起见，我们用竖线将 \(a,b\) 两部分分开。
假如我们用数字 \(y_i\) 代表未知数 \(x_i\)，原方程组的所有式子全部变为恒等式，那么就称 \(n\) 个数组成的有序组 \(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\) 为原方程组的一个解，而 \(y_i\) 称为解的第 \(i\) 个分量。这时也称有序组 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 满足原方程组的每一个方程。没有任何解的方程组叫做不相容的，有解的方程组叫做相容的，如果只有唯一解，就叫做确定的，解的个数多于一个的方程组叫做不定的。
前置推论
解这个方程之前，我们先来学习几个前置推论。
假设我们有一个与最开始的方程组未知数个数和方程个数相同的线性方程组，称作方程组 \((1)\)。如果 \((1')\) 是 \((1)\) 中除 \(i,k\) 之外的所有方程不变，而第 \(i,k\) 个方程交换位置，则称 \((1')\) 是由 \((1)\) 经过 I 型初等变换 得到的。
如果 \((1)\) 中除第 \(i\) 个之外的所有方程保持不变，而第 \(i\) 个方程变为：
\[(a_{i1}+ca_{k1})x_1+(a_{i2}+ca_{k2})x_2+\cdots+(a_{in}+ca_{kn})x_n=b_i+cb_k \]则称变换后的方程组 \((1')\) 是由 \((1)\) 经过 II 型初等变换 得到的。其中，\(c\) 是一个常数。这个变换可以理解为行向量 \([a_i]\) 加上数乘 \(c\) 后的行向量 \([a_k]\) 后得到的。
如果两个线性方程组同时是不相容的，或者同时是相容的且有相同的解，那么就称这两个线性方程组是等价的。两个等价的方程组 \((a)\) 和 \((b)\) 记作： \((a)\sim (b)\)。注意到该等价满足自反性，即 \((a)\sim(a)\)；还满足对称性，即 \((a)\sim(b)\leftrightarrow (b)\sim(a)\)；也满足传递性，即 \((a)\sim(b),(b)\sim(c)\to (a)\sim(c)\)。
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