拉格朗日乘数法
对于多元函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，有若 \(m\) 个约束条件形如：\(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\)。
我们要求 \(f\) 在约束条件下的极值。
首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为 \(0\) 的点即可。
对于多元和约束，我们构造函数 \(L(x_1, x_2, \dots , x_n, \lambda)\)，\(\lambda\) 是实数：
\[L(x_1, x_2, \dots , x_n, \lambda)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda(\sum_{i=1}^mg(x_1, x_2, \dots , x_n)) \]对于这个函数，我们求出对 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 求出他们的偏微分，要求每个偏微分都等于 \(0\) 并且 \(\lambda\) 的偏微分也是 \(0\)（这样就相当于 \(g\) 为 \(0\)）。
即满足方程组：
\[\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_1}=0\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}=0\\ \,\,\,\,\,\vdots\\ \frac{\partial L}{\partial x_n}=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}\,\,=0\\ \end{cases} \]求出这个方程组的所有解就是可能的极值。
例1： 过河问题：有一条河，分成三段，每段水流速度分别为 \(v_1,v_2,v_3\)，宽度分别为 \(w_1, w_2, w_3\)，现在要从东岸到西岸，以恒定的速度 \(v\) 过河，要求上岸点和出发地点在同一垂直于河流的直线上，求最少时间。
思路：
显然这个问题中的变量是各段出发的角度，不妨设偏移的角度分别是 \(\theta_1,\theta_2,\theta_3\)。
通过对速度分解，表示过河时间的函数为：
\[f(\theta_1,\theta_2,\theta_3)= \frac{w_1}{v\cos\theta_1}+ \frac{w_2}{v\cos\theta_2}+ \frac{w_3}{v\cos\theta_3} \]约束为：
\[g(\theta_1,\theta_2,\theta_3)= \frac{w_1}{v\cos\theta_1}(v_1-v\sin\theta_1)+ \frac{w_2}{v\cos\theta_2}(v_2-v\sin\theta_2)+ \frac{w_3}{v\cos\theta_3}(v_3-v\sin\theta_3) \]于是我们可以用拉格朗日乘数法，引入实数 \(\lambda\)，构造函数 \(L(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\lambda)\)。
我们考虑对 \(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\lambda\) 求偏微分。
首先，求导中有结论：
\[(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]先对 \(\theta_1\) 求导，显然只有 \(\frac{w_1}{v\cos\theta_1}\) 和 \(\frac{w_1}{v\cos\theta_1}(v_1-v\sin\theta_1)\lambda\) 有影响。
第一个，\(\cos\) 的导数是 \(-\sin\)，再根据结论：
\[(\frac{w_1}{v\cos\theta_1})'=\frac{w_1\sin \theta_1}{v\cos^2 \theta_1} \]第二个，同理：
\[\begin{aligned} [\frac{w_1}{v\cos\theta_1}(v_1-v\sin\theta_1)\lambda]' &= \frac{w_1\sin \theta_1}{v\cos^2 \theta_1}\lambda v_1 -\frac{\lambda w_1}{\cos^2\theta_1}\\ \end{aligned} \]所以它的偏微分就是：
\[\frac{w_1\sin \theta_1}{v\cos^2 \theta_1}(1+\lambda v_1) -\frac{\lambda w_1}{\cos^2\theta_1} \]要求其等于 \(0\)，化简就可以得到：
\[\sin \theta_1(1+\lambda v_1)=\lambda v \]其他同理，我们就可以得到一个方程组，解开就行了。
怎么解还不会，咕咕咕咕。
例2： 平面上有若干个点，距离原点距离分别为 \(r_1,r_2,\dots,r_n\)，要求形成凸包面积最大。
思路：
同理，也是以角度为变量，以和为 \(2\pi\) 为约束即可。
最终可以得出方程组，与 \(\lambda\) 有单调性，二分 \(\lambda\) 即可求出答案。
例3： 三位平面上 \(n\) 个点 \((a_1,b_1,c_1),\dots,(a_n,b_n,c_n)\)，要求求一条直线 \(L\) 使得投影在这条直线上后所有值的方差最大。
思路：
学了线代再回来做。
离散微积分
当 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{Z}\) 上的函数时，我们定义差分（也就是导数）：
\[g(x)=\Delta f(x)=f(x+1)-f(x) \]离散积分就是：
\[\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}g(k)=f(b)-f(a) \]与微积分基本定理类似。
接着，我们还要知道两个东西。
上阶乘幂：\(x^{\overline{m}}=x(x+1)(x+2)\dots(x+m-1)\)。
下阶乘幂：\(x^{\underline{m}}=x(x-1)(x-2)\dots(x-m+1)\)。
我们对下阶乘幂求离散导数就会得到：
\[\Delta x^{\underline{m}}=mx^{\underline{m-1}} \]与幂函数求导类似。
运用这个我们还可以得到：
\[\sum_{a}^b x^{\underline{m}}\delta x=\frac{1}{m+1}x^{\underline{m+1}}|^{b}_{a} \]例1： 求出 \(\sum_{0 \le k < n}k^2\) 的封闭形式。
思路：
可以用离散积分来做，有 \(x^2=x^{\underline{2}}+x^{\underline{1}}\)，于是我们可以根据积分得出封闭形式。
这种方法可以解决任意次幂。
例2： 证明 \((a+b)^{\underline{n}}=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{\underline{n-r}}b^{\underline{r}}\)
思路：
\(a+b\) 个球中选 \(n\) 个排成一行，double counting.
标签：dots,cos,frac,微积分,theta,相关,underline,lambda From： https://www.cnblogs.com/rlc202204/p/17976381