先导知识

在学习微分（求导）的时候，对于以下几种常见函数的导数，大家一定不陌生，在接下里的微分方程求解的时候，也会利用到这些常见函数的求导以及求导运算的属性：

• \((e^x)'=e^x\)

• \((x^n)'=n{\cdot}x^{n-1}\)

• \((\sin{x})'=\cos{x}\) ， \((\cos{x})'=-\sin{x}\)

• \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) ，例如：\((xe^{x})'=(x)'{\cdot}e^{x}+x{\cdot}(e^{x})'=e^{x}+x{\cdot}e^{x}\)

• \(f(g(x))'=\frac{df}{dg}{\cdot}\frac{dg}{dx}\)，例如：\((e^{ax})'=\frac{de^{ax}}{d(ax)}{\cdot}\frac{d(ax)}{dx}=e^{ax}{\cdot}a=a{\cdot}e^{ax}\)

所谓“齐次”，指的是形如 \(ay''+by'+cy=0\) 的方程。

所谓“非齐次”，指的是形如 \(ay''+by'+cy=f(x)\) ，其中 \(f(x)\ne0\)

齐次微分方程

以 \(ay''+by'+cy=0\) 为例。

特征方程

注意到

• \(e^x\)求导后的结果是自身，即 \((e^x)'=e^x\)

• \((e^{{\alpha}x})'={\alpha}{\cdot}e^{{\alpha}x}\)，\((e^{{\alpha}x})''={\alpha}^{2}{\cdot}e^{{\alpha}x}\) ，由此可以看出的一阶导数结果的系数是e的幂次系数\(\alpha\)，二阶导数结果的系数是e的幂次系数的平方\({\alpha}^2\)

• 如果 \(e^{{\alpha}x}\) 是上述方程的解（为了书写和讨论方便，在此省略常数系数，带上常数系数之后\(C_1e^{{\alpha}x}\)也是方程的解），那么将会有

\(a{\cdot}{\alpha}^2e^{{\alpha}x}+b{\cdot}{\alpha}e^{{\alpha}x}+c{\cdot}e^{{\alpha}x}=0\)

即 \(a{\cdot}{\alpha}^2+b{\cdot}{\alpha}+c=0\)

也就是说 \(\alpha\) 是关于\(r\)的方程 \(a{\cdot}r^2+b{\cdot}r+c=0\) 的一个根。

由此我们不难发现，对于二阶齐次微分方程\(ay''+by'+cy=0\) ，可以根据原方程系数，构造一个新的方程\(a{\cdot}r^2+b{\cdot}r+c=0\)，即所谓的“特征方程”，然后求该特征方程的根，最终得到微分方程的一个解。

特征方程的解与微分方程的解

有了特征方程，我们自然会想到一元二次方程的根的几种情况，那么它们分别对应齐次微分方程的解又是什么样的形式呢？

其中\(\delta > 0\)的情况容易理解。而\(\delta < 0\)也可以套用\(\delta > 0\)的情况来转换：

特征方程有两个虚根\({\alpha}{\pm}{\beta}i\)，此时微分方程的根可以写成

\(C_1e^{({\alpha}+{\beta}i)x}+C_2e^{({\alpha}-{\beta}i)x}\)

\(=C_1e^{{\alpha}x}({\cos}{{\beta}x}+i{\sin}{{\beta}x})+C_2e^{{\alpha}x}({\cos}{\beta}x-i{\sin}{{\beta}x})\)

\(=(C_1+C_2)e^{{\alpha}x}{\cos}{{\beta}x}+(C_1-C_2)ie^{{\alpha}x}{\sin}{{\beta}x}\)

将系数\((C_1+C_2)\)和\(((C_1-C_2)i)\)重写成\(C_1\)和\(C_2\)即可得到特征方程虚根情况下的通解形式。

下面重点来看一下重根（\(\delta = 0\)）的情况：

首先\(C_1e^{r_1x}\)是方程的根，这个容易理解，关键是如何理解另外一个根\(C_2xe^{r_1x}\)。

我们可以反过来验证以下：

\(y=C_2xe^{r_1x}\)

\(y'=C_2e^{r_1x}+C_2r_1xe^{r_1x}\)

\(y''=C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x}=2C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x}\)

\(ay''+by'+cy=0\) 可以变为：

\(a{\cdot}(2C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x})+b{\cdot}(C_2e^{r_1x}+C_2r_1xe^{r_1x})+c{\cdot}C_2xe^{r_1x}=0\)，即

\(2a{\cdot}r_1+b+(a{\cdot}r_1^2+b{\cdot}r_1+c)x=0\) ……①

其中，我们知道\(r_1\)是特征方程的根，所以

\(a{\cdot}r_1^2+b{\cdot}r_1+c=0\)

又因为\(\delta = 0\)，所以\(r_1=-\frac{b}{2a}\)，即 \(2a{\cdot}r_1+b=0\)

所以上述①式成立。

关于齐次方程的解的思考小结

对于二阶微分方程的解，可以看到一阶求导、二阶求导所产生的分量，应该保持原来的分量（例如\(e^x\)、\({\cos}{x}\)、\({\sin}{x}\)）、或者出现能够消除的降幂项（例如\(xe^x\)），总的来说就是不增加新的无法消除的项。

非齐次方程

通解与特解

形如 \(ay''+by'+cy=f(x)\) ，其中 \(f(x)\ne0\)，其解的构成形式为 \(y_0+y^*\)，其中是\(y_0\)通解、\(y^*\)是特解，为了方便表达，在这里写成

\(ay_0''+by_0'+cy_0=0\)

\(a{y^*}''+b{y^*}'+c{y^*}=f(x)\)

之所以解的构成形式为\(y_0+y^*\)，是因为：

\(a(y_0+y^*)''+b(y_0+y^*)'+c(y_0+y^*)\)

\(=(ay_0''+by_0'+cy_0)+(a{y^*}''+b{y^*}'+cy^*)\)

\(=0+f(x)\)

\(=f(x)\)

特解的求法

（略：步骤太多、待补充）

方程右边为常数的一种解法

形如 \(ay''+by'+cy=K\) ，其中常数\(K\ne0\) ，\(c\ne0\)

用上一小节提到的特解的求法，能够求出上述方程的解。

在这里提供另外一种更简洁的方法。

例如：\(y''-y'-20y=5\)

首先，上述方程对应的齐次方程为：\(y''-y'-20y=0\)

特征方程 \(r^2-r-20=0\)

两个特征根分别为：\(r_1=-4\)，\(r_2=5\)

对应齐次方程的通解为：\(C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}\)

接下来求特解，可以用这样的方法：将原方程变形为 \(y''-y'-20(y+\frac{1}{4})=0\)

之所以要这么变形，是考虑到 \((y+C)''=y''\)、\((y+C)'=y'\)

因此方程可以进一步变形为 \((y+\frac{1}{4})''-(y+\frac{1}{4})'-20(y+\frac{1}{4})=0\)

将\((y+\frac{1}{4})\)看作一个整体，用齐次方程解法可得 \(y+\frac{1}{4}=C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}\)

从而得到最终的解为：\(y=C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}-\frac{1}{4}\)

总的来说，对于\(ay''+by'+cy=K\)，可以变形为\(ay''+by'+c(y-\frac{K}{c}=0\)

将\((y-\frac{K}{c})\)看作一个整体，求出通解\(y_0\)，即\(y-\frac{K}{c}=y_0\)，从而得到最终解\(y=y_0+\frac{K}{c}\)