什么，LaTeX 炸了？都是 cnblogs 的锅！！！
\[\newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \]忍不了，一拳把微分方程干爆！！！
I.一些非线性微分方程的解法
参数分离微分方程
可写成 \(p(x)\d x=q(y)\d y\) 的方程可以在两侧同时积分，得到 \(P(x)=Q(y)+C\) 的式子。
可转为参数分离方程的方程
\[y'=f(\Gamma) \]其中 \(\Gamma\) 是一个由 \(x,y\) 组成的较为简单的式子。
由 \(\Gamma\) 本身的性质，可以有 \(\Gamma'=F(y',\Gamma)\)。然后再代入 \(y'=f(\Gamma)\)，进而得到 \(\Gamma'=G(\Gamma)\) 的参数分离式。
常见的 \(\Gamma\) 有：\(\dfrac yx\)（\(\Gamma'=\dfrac{y'-\Gamma}x\)）；\(ax+by+c\)（\(\Gamma'=a+y'\)）；\(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)（分有无交点处理）
II.一阶线性 ODE
一阶齐次线性 ODE
\[y'+a(x)y=0 \\\ln|y|=C_0-\int_{x_0}^xa(t)\d t \\y=\pm e^{C_0}e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}&(通解) \\y=Ce^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}&(全解，包含特解 C=0) \\其中，x_0可任意取值 \]初值问题
若确定 \((x_0,y_0)\) 在函数图像上，则上式变为 \(y=y_0e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}\)。
一阶线性 ODE
常数变易法
\[y'+a(x)y=f(x) \\y=C(x)y_0 \\y'=C(x)(-a(x)y_0)+C'(x)y_0 \\C(x)(-a(x)y_0)+C'(x)y_0+a(x)C(x)y_0=f(x) \\C'(x)=f(x)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t} \\C(x)=C+\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s \\y=Ce^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}+e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s \]积分因子法
令 \(A(x)=\int_{x_0}^xf(t)\d t\)。
\[y'+a(x)y=f(x) \\y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)} \\(ye^{A(x)})'=f(x)e^{A(x)} \\y=Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int_{x_0}^xf(t)e^{A(t)}\d t \]要点：寻找合适的因子，凑出全微分的形式。
而这个因子不好找。
初值问题
\[y=y_0e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}+e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s \]III.一阶线性微分方程组
积分因子法
\[\bf y=A(x)\bf y'+\bf b(x) \]直接使用积分因子法，得到
\[e^{-A(x)}\bf y-e^{-A(x)}A(x)\bf y'=e^{-A(x)}\bf b(x) \\(e^{-A(x)}\bf y)'=e^{-A(x)}\bf b(x) \\\bf y=e^{A(x)}\bf C+\int_{x_0}^xe^{-A(t)}\bf b(t)\d t \]什么是矩阵 \(\exp\)？
\[\exp(A)=\sum_i\dfrac{A^i}{i!} \]\(\exp(A)\) 和 \(A\) 是对易子。
由 Leibniz 乘法导数公式，\((A(x)\bf b(x))'=A(x)'\bf b(x)+A(x)\bf b'(x)\)。
上式的问题在于 \(\exp(A)\) 的计算。
若 \(A\) 可对角化（\(A=P\Lambda P^{-1}\)），则 \(A^i=P\Lambda^iP^{-1}\)，于是 \(\exp(A)=P\exp(\Lambda)P^{-1}\)，对角矩阵的 \(\exp\) 易计算。
否则，\(A\) 可 Jordan 化（\(A=PJP^{-1}\)），计算 \(\exp(J)\)。
\(J=\Lambda+U\)，其中 \(\Lambda\) 是对角阵、\(U\) 是主对角线上方对角线上的 \(1\) 阵。
易验证 \(\Lambda,U\) 是对易子，于是 \(e^{\Lambda+U}=e^{\Lambda}e^U\)。\(e^U\) 在 \(n\) 次幂内收敛。
积分因子法因为 Jordan 化太困难（要求出 \(P\) 阵不好手算）、\(U\) 阵还要算幂次，不太适合考试时使用。
常数变易法
如果，我终于寻到那线性无关的解
考虑齐次方程组 \(\bf y'=A(x)\bf y\)。
假如 可以寻找线性无关的 \(n\) 个解 \(U(x)=\begin{bmatrix}\bf y_1&\bf y_2&\dots&\bf y_n\end{bmatrix}\)，
那么 \(U(x)'=A(x)U(x)\)
于是考虑 \(\bf y'=A(x)\bf y+\bf f(x)\)
那么令 \(\bf y(x)=U(x)\bf C(x)\)
于是 \(\bf C(x)=U(x)^{-1}\bf y(x)\)。
于是 \(\bf y(x)=U(x)\int_{x_0}^xU^{-1}(t)\bf f(t)\d t+U(x)\bf C_0\)。
那么，我终于寻到那方程的初值
在上述前提下，如果 \(\bf y_1,\bf y_2\) 是 \(\bf y(x)=A(x)\bf y'(x)+\bf f(x)\) 的解，且 \(\bf y_1(x_0)=\bf y_2(x_0)\)，
那么 \(\bf y_0=\bf y_1-\bf y_2\) 是 \(\bf y(x)=A(x)\bf y'(x)\) 的解，且 \(\bf y_0(x_0)=\bf 0\)，
\(\bf y_0=U(x)\bf C_0\)，代入 \(x_0\) 得到 \(\bf C_0=\bf 0\)，
则 \(\bf y_0=\bf 0\)，则 \(\bf y_1=\bf y_2\)。
但是，我何从觅求那线性无关的解
Liouville 定理：如果 \(U(x)=\begin{bmatrix}\bf y_1&\bf y_2&\dots&\bf y_n\end{bmatrix}\) 线性无关，那么 \([\det U(x)]'=\tr A(x)\det U(x)\)。
证明：对 \(\det U(x)\) 展成积的交错和形式，然后用 Leibniz 乘积公式可得。
解得 \(\det U(x)=\det U(x_0)e^{\int_{x_0}^x\tr A(t)\d t}\)。
于是 \(\det U(x)\) 一处为零则处处为零。也即，\(\det U(x)=0\Leftrightarrow\det U(x_0)=0\)。
\(W(x)=\det U(x)\)，称作 Wronsky 行列式。
仿佛，我已经寻到了方程的初值
若 \(A(x)\) 连续，则 \(\forall(x_0,\bf y_0\)，初值问题 \(\bf y(x_0)=\bf y_0\) 都有唯一解。【证明需要一致连续知识】
于是在 \(x_0\) 处任取一组线性无关向量（不妨直接令 \(U(x_0)=I_n\)），然后根据 \(U(x_0)\) 推出唯一的 \(U(x)\)，上述分析成立。
刹那，时间反转吧，你是美丽的！
上述分析倒过来即可。
IV.一阶常系数线性微分方程组
变系数 ODE 方程组并非凡人可以染指的俗物，它是不容置喙的神域！！！
一阶常系数齐次线性微分方程组
假设其有 \(e^{\lambda x}\bf C\) 的解，则代入得应有 \(A\bf C=\lambda\bf C\)，即 \(\lambda\) 是特征根、\(\bf C\) 是特征向量。
-
若有 \(n\) 个线性无关特征向量 \(\bf C_1,\dots,\bf C_n\)，则 \(e^{\lambda_1x}\bf C_1,\dots,e^{\lambda_n}\bf C_2\) 的线性组合即为方程通解。
-
若特征向量数目小于 \(n\)，需要求广义特征向量。依下法求广义特征向量：
-
令 \(\lambda\) 是 \(k\) 重特征值，\(\bf C_0=\bf 0\)，\(\bf C_i\) 为 \((A-\lambda I)\bf C_i=\bf C_{i-1}\) 的唯一解，\(\bf C_1,\dots,\bf C_k\) 称为广义特征向量；
令 \(\bf y_i=e^{\lambda x}\sum\limits_{j=1}^k\dfrac{x^{j-1}}{(j-1)!}(A-\lambda I)^{j-1}\bf C_i\)，则全体 \(\bf y_i\) 为线性无关解。
-
成对出现的复特征根 \(\alpha\pm i\beta\) 意味着成对出现的复特征向量，意味着成对出现的复解，分别取出实部和虚部即可。
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]一阶常系数非齐次线性微分方程组
把非齐次项扔到（广义）特征向量基底下展开即可。
\[\bf y(x)=A\bf y(x)+\bf f(x) \\\bf y(x):=\sum c_i(x)\bf C_i \\\bf f(x)=\sum d_i(x)\bf C_i \\\sum c_i'(x)\bf C_i=\sum\lambda_ic_i(x)\bf C_i+\sum d_i(x)\bf C_i \]对于向量的每一位分开解上述一坨即可。
V.高阶常系数线性微分方程
可以简单转成一阶常系数线性微分方程组。
也可以使用常数变易法。
- 常数变易法：由一组解推知另一组线性无关解。
高阶常系数齐次线性微分方程
设解为 \(e^{\lambda x}\)。解特征方程即可。
如果有重根？针对重根进行常数变易分析后，会发现 \(k\) 重根对应 \(e^{\lambda x}\)，\(xe^{\lambda x},\dots,x^{k-1}e^{\lambda x}\)。
高阶常系数非齐次线性微分方程
常数变易？可能求起来较为困难。
比较系数法：若 \(\lambda\) 是特征方程的 \(k\in[0,n]\) 重根，则方程有形如 \(x^kQ(x)e^{\lambda x}\) 的解。
VI.其它场合
- 如果不含 \(y\)，则令 \(p=y'\) 然后解 \(p\) 的 ODE 即可。
- 如果不含 \(x\)，则令 \(p(y)=y'\) 然后解 \(p\) 关于 \(y\) 的 ODE 即可（\(\dfrac\d{\d x}=p\dfrac\d{\d y}\)）
可因式分解的方程：
\[y''-3y'+2y=x^2 \\(\dfrac\d{\d x}-2)(\dfrac\d{\d x}-1)y=x^2 \\u=(\dfrac\d{\d x}-1)y，则 (\dfrac\d{\d x}-2)u=x^2 解得 u，然后 u 再解 y \]上述算法成立的前提是微分与常数的加法、乘法交换律。
因此，常系数线性微分方程可以分解为一阶常系数线性微分方程的组合。
非常系数的线性微分方程：微分与变量之间没有交换律，因此不能直接十字相乘因式分解，需要待定系数。
\(\sum a_ix^iy^{(i)}=f(x)\) （Euler 方程）是可以待定 \(\prod(x\dfrac\d{\d x}+\alpha_i)y=f(x)\) 的，因为 \(x^k\dfrac{\d^k}{\d x^k}=(\dfrac\d{\d t})^{\underline k}\)，其中 \(t=\ln x\)。
或者，直接换元 \(t=\ln x\) 然后解关于 \(t\) 的线性方程亦可。
还是不会？随机试一些换元，直到可解！
- \(p=xy/\dfrac1y/x^2y/xy^2/x^2y^2/\dfrac1{xy}\)……
还是不会？那就开摆！
忍不了，一拳被微分方程干爆！
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