122 常微分方程(1)
内容:\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\) \(\newcommand{\bs}{\backslash}\)\(\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\)\(\newcommand{\d}{\mathrm{d}}\) \(\newcommand{\D}{\Delta}\)\(\newcommand{\i} {\mathrm{i}}\)\(\newcommand{\ov}{\overline}\)\(\newcommand{\ud}{\underline}\)\(\newcommand{\scr}{\mathscr}\)\(\newcommand{\bf}{\mathbf}\)\(\newcommand{\t}{\theta}\)\(\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}\)\(\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)\(\newcommand{\bc}{\begin{cases}}\)\(\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)\(\newcommand{\la}{\lambda}\)\(\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\)
- 微分方程的基本概念。
- 微分方程的几何意义。
- 一阶微分方程的解法。
牛顿:万有引力,第二定律都要用到微分方程。
基本概念
- 微分方程(组):含有未知函数及其导数的等式(组)。
- 微分方程(组)的阶数:涉及未知函数的最高阶导数的阶数。
- 常微分方程(Ordinary Differential Equations,ODE):所有未知函数都是同一自变量的一元函数。
隐式:
\[F(x, \mathbf y, \mathbf y', \cdots, \mathbf y ^ {(n)}) = 0 \]其中 \(\mathbf y(x) = (y_1(x), \cdots, y_m(x))\) 是一组未知函数。
显式:
\[\mathbf y ^ {(n)} = f(x, \mathbf y, \mathbf y', \cdots, \mathbf y ^ {(n - 1)}) \]课程主要讨论显式常微分方程。
- 微分方程的解 \(\mathbf y = \mathbf y(x)\):……
- 微分方程的 初值问题:求满足微分方程初始条件的解。
一般 \(n\) 阶微分方程有 \(n\) 个初始条件,任给一组初始条件都会给出对应解,于是
- \(n\) 阶微分方程的 通解(General Solution,注意不是 所有解,可能有 特解):\(y(x)\) 含 \(n\) 个任意常数。
最简单的微分方程 \(y' = f(x)\),通解
\[C + \int f(x) \d x = \int_{x_0} ^ x f(t) \d t \]初值问题 \(y' = f(x); y(x_0) = y_0\) 有唯一解
\[y_0 + \int_{x_0} ^ x f(t) \d t \]\[y ^ {(n)} = f(x) \]
这是关于 \(y ^ {(n - 1)}\) 的一阶微分方程。若要求 \(y ^ {(n - 1)}(x_0) = C_1\),则
\[y ^ {(n - 1)} = C_1 + \int_{x_0} ^ {x} f(t) \d t \]若进一步要求 \(y ^ {(n - 2)}(x_0) = C_2\),则
\[y ^ {(n - 2)} = C_2 + C_1(x - x_0) + \int_{x_0} ^ x \left(\int_{x_0} ^ t f(s)\d s\right) \d t \]\[y = C_n + C_{n - 1}(x - x_0) + \cdots + C_1(x - x_0) ^ {n - 1} + \int_{x_0} ^ x \int_{x_0} ^ {t_n} \cdots \int_{x_0} ^ {t_2} f(t_1) \d t_1 \cdots \d t_n \]对任意给定初始条件 \(y(x_0), y'(x_0), \cdots, y ^ {(n - 1)}(x_0)\),微分方程 \(y ^ {(n)} = f(x)\) 有唯一解。
一阶微分方程的几何意义
\(\frac {\d y} {\d x} = f(x, y)\):曲线 \(\gamma\) 在经过 \((x, y)\) 时,切线斜率为 \(f(x, y)\)。
- 斜率场:在每个点处给定斜率 \(f(x, y)\)。
- 方向场:在每个点处指定以 \((1, f(x, y))\) 为方向的直线。
- 积分曲线:曲线的切线是方向场在该点指定的直线。
对于 \(y' = f(x)\),斜率场和 \(y\) 无关:积分曲线沿平行于 \(y\) 轴的方向移动,仍是积分曲线。平移对称性。
对于 \(y' = f(y)\),斜率场和 \(x\) 无关:若 \(y(x)\) 是解,则 \(y(x + C)\) 也是解。平移对称性。
几何对称性使得某些微分方程有特殊解法。
站在方向场考虑,可以摆脱求 ”函数“ 的限制:要求更一般的积分曲线。
- 方向场 的一般定义:在 \(P\) 处指定直线 \(l(P)\)。
- 积分曲线:曲线 \(\gamma\) 所经之处总与方向场相切。
平面方向场:
\[P(x, y)\d x + Q(x, y)\d y = 0 \]积分曲线:\((x(t), y(t))\)
\[P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t) = 0 \]直角坐标系下,\(\gamma\) 与 向量场 \((P(x, y), Q(x, y))\) 处处正交。
代数上解微分方程 \(\frac {\d y} {\d x} = f(x, y)\),对应几何上求积分曲线 \(f(x, y) \d x - \d y = 0\)。
例 \(1\)
\(x \d x + y\d y = 0\)。
解:位置和速度方向垂直,圆。旋转对称性。
\[0 = x \d x + y\d y = \frac 1 2(x(t) ^ 2 + y(t) ^ 2)' \d t \implies x(t) ^ 2 + y(t) ^ 2 = C \]若写成极坐标
\[\bc x = r(t) \cos \t(t) \\ y = r(t) \sin \t(t) \end {cases} \]则
\[\d x = \cos \t \d r - r\sin \t \d \t \\ \d y = \sin \t \d r + r\cos \t \d \t \]此时
\[0 = x \d x + y \d y = r\d r \]即 \(r = 0\) 或 \(\d r = 0\)。
特殊微分方程的解法
分离变量方程
\(p, q\) 连续且有原函数 \(P, Q\)。
\(p(x) \d x + q(y) \d y = 0\) 写成 \(\d P(x(t)) + \d Q(y(t)) = 0\),于是 \(P(x) + Q(y) = C\)。
齐次方程
形如 \(\frac {\d y} {\d x} = f(\frac y x)\)。
沿过原点的直线(斜率相同)的方向场平行,伸缩对称性。
尝试写成最简单的微分方程的形式,沿与 \(y\) 轴平行的直线的方向场平行。
- 过原点的直线由 \(\t\) 确定,所以自变量是 \(\t\)。
- 平移是加法,伸缩是乘法,取对数变成加法,所以因变量是 \(\ln r\)。
由于
\[\frac {\d \ln r} {\d \theta} = \frac 1 r \frac {\d r} {\d \theta} \]可将方程写成
\[\frac {\d r} {\d \t} = \frac {r\cos \t + f(\tan \t) r\sin \t} {f(\tan \t) \cos \t - \sin \t} \]因此
\[\frac {\d \ln r} {\d \theta} = \frac {\cos \t + f(\tan \t) \sin \t} {f(\tan \t) \cos \t - \sin \t} \]右侧是只关于 \(\t\) 的函数 \(g(\t)\),两侧积分得
\[\ln r = \int g(\t) \d \t \]在直角坐标系下的解法:记 \(p = \frac y x\),\(z = \ln \abs{x}\),则
\[z'_p = \frac {x'_p} {x} = \frac 1 {x p'_x} = \frac {1} {y'_x - \frac y x} = \frac 1 {f(p) - p} \]这是最简微分方程。于是
\[z = \int \frac {\d p} {f(p) - p} = F(p) + C \]最终得到
\[x\e ^ {-F(\frac y x)} = C_1 \]例 \(1\)
\(xy' - y = \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}\)。
解:令 \(x = \la \tilde x\),\(y = \la \tilde y\),方程形式不变。于是方程是齐次微分方程。
令 \(p = \frac y x\),最终化简得到 \(\frac {d\ln x} {\d p} = \frac {1} {\sqrt {1 + p ^ 2}}\)(反双曲正弦),解得 \(Cx = p + \sqrt {1 + p ^ 2}\),最终得到抛物线。
更复杂的情形。
\[y' = f\left(\frac {a_1 x + b_1y + c_1} {a_2x + b_2y + c_2}\right) \]当 \(c_1 = c_2 = 0\) 时上下除以 \(y\),齐次方程。
若方程组 \(a_ix + b_iy + c_i = 0\) 有解 \((x_0, y_0)\),说明 对称中心在 \((x_0, y_0)\),令 \(\xi = x - x_0\),\(\eta = y - y_0\),可以写成齐次方程。
若无解,则 \(y' = f(\alpha + \frac {\beta} {a_2x + b_2y + c_2})\),令 \(\xi = a_2x + b_2y + c_2\),则 \(\xi'_x = a_2 + b_2f(\alpha + \frac {\beta} {\xi})\),取倒数即得最简微分方程。
线性方程
\[y' = a(x) y + f(x) \]- 最基本的微分方程,绝对要会。
\(a(x)\) 是否为常数决定了常系数 / 变系数线性方程;\(f(x)\) 是非齐次项,\(f(x)\) 是否为 \(0\) 决定了齐次 / 非齐次线性方程。和齐次方程不一样。
齐次方程 \(y' = a(x) y\) 分离变量法
\[\frac {\d y} {y} = a(x) \d x \implies \abs {y} = \e ^ {C_1} \e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} \]通解为
\[y(x) = C\e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} \]\(C\) 是任意常数,包含了特解 \(y = 0\)(除以 \(y\) 的过程会丢解)。
- 为什么它是所有解?原因如下。
非齐次方程 \(y' = a(x) y + f(x)\) 常数变易法
设 $y(x) = C(x) \e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} $,则
\[f(x) = y'(x) - a(x) y(x) = C'(x) \e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} \]最简微分方程。这里 \(C(x)\) 项被消去不是巧合。
最终得到
\[y(x) = C_0\e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} + \e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} \int_{x_0} ^ x f(u)\e ^ {-\int_{x_0} ^ u a(t) \d t} \d u \]前面一部分是齐次方程的通解(\(f = 0\)),\(C_0\) 是任意常数;后面一部分是非齐次方程的特解(\(C_0 = 0\))。
习题课讲了另一种方法 积分因子法,核心是 凑全微分。注意到
\[(\e ^ {-A(x)} y)' = \e ^ {-A(x) }(y' - a(x)y) = \e ^ {-A(x)} f(x) \]其中 \(A\) 是 \(a\) 的原函数,于是
\[\e ^ {-A(x)}y = \int \e ^ {-A(x)} f(x) \]即
\[y = \e ^ {A(x)} \left(C + \int_{x_0} ^ x f(u) \e^ {-A(u)} \d u\right) \]叠加原理
若
\[y' = a(x) y + f(x), \quad z' = a(x) z + g(x) \]则 \(u = \alpha x + \beta y\) 满足
\[u' = a(x) u + (\alpha f(x) + \beta g(x)) \]- 齐次方程的解空间是 线性空间。
- 若 \(y_1, y_2\) 是 \(y' = a(x)y + f(x)\) 的解,则 \(y_1 - y_2\) 是 \(y' = a(x) y\) 的解。非齐次方程的解空间是 仿射空间。
叠加原理本身不需要解方程,因此不解方程也能得到齐次方程解空间的结构。
- 物理含义:力的叠加。
常系数线性方程 \(y' - \la y = \e ^ {\mu x} x ^ k\)
右侧是 拟多项式。
齐次方程 \(y' - \la y = 0\) 有解 \(y(x) = \e ^ {\la x}\)。
常数变易 \(y(x) = C(x) \e ^ {\la x}\) 带入原方程
\[C' \e ^ {\la x} = \e ^ {\mu x} x ^ k \]即 \(C'(x) = \e ^ {(\mu - \la) x} x ^ k\),分部积分得到 \(C(x)\)。
如何不用分部积分:考虑线性映射 \(L : y\mapsto y'\)
\[L(\e ^ {\tau x} x ^ k) = \e ^ {\tau x}(\tau x ^ k - k x ^ {k - 1}) \]可记 \(\scr P_{\tau, k} = \{ \e ^ {\tau x} P(x) | \deg P \leq k \}\),则 \(L : \scr P_{\tau, k}\to \scr P_{\tau, k}\) 是线性映射,写出系数矩阵。
\(C'(x) = \e ^ {(\mu - \la) x} x ^ k\) 可写成线性方程,未知数为 \([x ^ i]C(x)\),求解即得 \(C(x)\)。
由于 \(L\) 的特殊性,系数矩阵已经是上三角矩阵,且形式很好,可直接回带。
指数函数可以换成三角函数,三角函数可拆为复指数函数。
- 核心观点:求导运算可看成线性映射。
例 \(2\)
求解常系数线性方程 \(y' - y = \e ^ x x ^ 2 - 2\e ^ {2x}x + x \sin x + \e ^ {-x} \cos x\)。
根据叠加原理拆成四个微分方程。
123 常微分方程(2)
内容:
- 高阶方程转为一阶方程组。
- 一阶方程组降维。
- 高阶方程的降阶。
高阶方程转为一阶方程组
记 \(u_k(x) = y ^ {(k)}(x), k\in [0, n)\),则
\[\bc u_0' = u_1 \\ u_1' = u_2 \\ \cdots \\ F(x, u_0, u_1, \cdots, u'_{n - 1}) = 0 \ec \]一阶方程组降维
\[\bpm \mathbf v \\ \mathbf w \epm' = \bpm f(\mathbf v) \\ g(\mathbf v, \mathbf w) \epm \]将变量分成两部分,其中一部分的导数只和它内部有关。
类似求解代数方程组时的消元法。
常系数线性微分方程组 \(\mathbf v' = A\mathbf v\)
令 \(\mathbf v = P \mathbf u\),则
\[\mathbf u' = P ^ {-1} \mathbf v = P ^ {-1} A \mathbf v = P ^ {-1} A P \mathbf u \]相似变换。可选择合适的 \(P\) 使得 \(P ^ {-1} A P\) 变得更简单。
矩阵 Jordan 标准型定理
存在可逆(复)矩阵 \(P\) 使得 \(P ^ {-1} A P = J\),其中 \(J\) 是 \(A\) 的 Jordan 标准型。
\[J = \bpm J_1 \\ & J_2 \\ & & \ddots \\ & & & J_r \epm \]其中
\[J_k = (\la)\ \mathrm{or}\ \bpm \la & 1 \\ & \la & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \la & 1 \\ & & & & \la \epm \]\(J_k\) 称为 Jordan 块。
\(P\) 由 \(A\) 的(广义)特征向量组成。需要广义特征向量是因为几何重数可能小于代数重数。而
\[\C ^ n = \oplus_{\la \in \operatorname{sp}(A)} \Ker(A - \lambda I) ^ {k(\la)} \]其中 \(\operatorname {sp}(A)\) 是 \(A\) 的所有特征值的集合,\(k(\la)\) 是 \(\la\) 的代数重数。
- \(\Ker (A - \la I)\):\(\la\) 对应的特征子空间。
- \(\Ker(A - \la I) ^ {k(\la)}\):\(\la\) 对应的广义特征子空间。
由上述结论,可得线性微分方程组的解法:计算特征值,写成 \(\mathbf u' = J\mathbf u\)。从下往上依次确定每个 \(u_k\),其中 \(u_n\) 由齐次线性方程确定,剩下的函数由齐次或非齐次线性方程确定,非齐次项由已经解出的函数(\(u_{k + 1}\))确定。最后计算 \(\mathbf v = P\mathbf u\) 。
例 \(1\)
求解
\[\bc x' = 2x + y \\ y' = 2x + 3y \ec \]解:
\[A = \bpm 2 & 1 \\ 2 & 3 \epm \]计算 \(A\) 的特征值
\[\begin{vmatrix} 2 - \la & 1 \\ 2 & 3 - \la \end{vmatrix} = \la ^ 2 - 5\la +4 = 0 \]解得 \(\la = 1\) 或 \(\la = 4\),对应特征向量分别为 \(\bpm 1 \\ -1\epm\) 和 \(\bpm 1 \\ 2 \epm\)(不唯一)。
设
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm = u(t) \bpm 1 \\ -1 \epm + v(t) \bpm 1\\ 2 \epm \]于是
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm' = u'(t) \bpm 1 \\ -1 \epm + v'(t) \bpm 1\\ 2 \epm \]又因为
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm' = \bpm 2 & 1 \\ 2 & 3 \epm \bpm x(t) \\ y(t) \epm = u(t) \cdot 1 \cdot \bpm 1 \\ -1 \epm + v(t) \cdot 4 \cdot \bpm 1\\ 2 \epm \]其中第二个等号的依据是特征值的性质。即
\[\bc u' = u \\ v' = 4v \ec \]因此
\[\bc u(t) = u_0\e ^ t \\ v(t) = v_0 \e ^ {4t} \ec \]其中 \(u_0, v_0\) 是任意常数。由此可算出 \(x(t)\) 和 \(y(t)\)。
高阶方程降阶
不显含 \(y\) 的微分方程
\[F(x, y ^ {(k)}, y ^ {(k + 1)}, \cdots, y ^ {(n)}) = 0 \]记 \(u(x) = y ^ {(k)}(x)\),则方程转化为 \(u\) 的 \(n - k\) 阶方程和 \(u(x) = y ^ {(k)}(x)\)。
不显含 \(x\) 的微分方程
\[F(y, y', \cdots, y ^ {(n)}) = 0 \]将 \(y\) 看成变量,\(y'\) 看成函数 \(u(y)= y'(x)\),则
\[\frac {\d w} {\d x} = \frac {\d w} {\d y} \frac {\d y} {\d x} = u \frac {\d w} {\d y} \implies \frac {\d} {\d x} = u \frac {\d} {\d y} \]于是
\[\bc F\left(y, u, u\frac {\d u} {\d y}, \cdots, \left(u\frac {\d} {\d y}\right) ^ {n - 1}u\right) = 0 \\ \frac {\d y} {\d x} = u(y) \ec \]可因式分解的微分方程
\[Ly = y'' - 3y' + 2y = x ^ 2 \]使用待定系数法
\[\left(\frac \d {\d x} - \alpha \right)\left(\frac \d {\d x} - \beta\right) y = x ^ 2 \]解得 \(\alpha = 2\),\(\beta = 1\)。
设 \((\frac \d {\d x} - \beta) y = u\),则
\[\bc u' - 2u = x ^ 2 \\ y' - y = u \ec \]本质上和换元差不多。
- 对多项式的 \(x\) 的理解:可以是任何有乘法的东西。Unknown,未定元。
Euler 方程
\[Ly = x ^ 2 y'' - 2xy' + 2y = f(x) \]待定系数法
\[Ly = \left(x\frac \d {\d x} - \alpha \right)\left(x\frac \d {\d x} - \beta\right) y = f(x) \]- 注意 \(x\frac {\d} {\d x} (x \frac {\d} {\d x}) = x ^ 2 \frac {\d ^ 2} {\d x ^ 2} + x\frac \d {\d x}\)。
类似得
\[\bc xu' - 2u = f(x) \\ xy' - y = u \ec \]一般地,Euler 方程形如
\[x ^ n y ^ {(n)} + a_{n - 1} x ^ {n - 1} y ^ {(n - 1)} + \cdots + a_1xy' + a_0y = f(x) \]考虑到
\[x \frac \d {\d x} = \frac {\d} {\d \ln x} = \frac {\d} {\d t} \\ x ^ 2\frac {\d ^ 2} {\d x ^ 2} = x \frac \d {\d x} \left(x \frac {\d} {\d x}\right) - x \frac {\d} {\d x} = \left(\frac {\d} {\d t} - 1\right) \frac {\d} {\d t} \\ x ^ 3 \frac {\d ^ 3} {\d x ^ 3} = \left(\frac {\d} {\d t} - 2\right) \left(\frac {\d} {\d t} - 1\right) \frac {\d} {\d t} \\ \]换元后问题转化为常系数线性微分方程。
其它的方程要看运气:
\[Ly = xy'' - (x + 1)y' + y = f(x) \]待定系数法
\[Ly = \left(x\frac \d {\d x} - \alpha \right)\left(\frac \d {\d x} - \beta\right) y = f(x) \]解得 \(\alpha = \beta = 1\),于是
\[\bc xu' - u = f(x) \\ y' - y = u \ec \]如果换成
\[Ly = \left(\frac \d {\d x} - \alpha \right)\left(x\frac \d {\d x} - \beta\right) y = f(x) \]就无解了,因为 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 不对称。
例 \(1\)
非零常曲率平面曲线是圆弧。
证明:不妨设 \(y'' > 0\)(导函数介值性,\(y''\) 不变号),则 \(\kappa = \frac {y''} {(1 + (y') ^ 2) ^ {3/2}}\)。记 \(p = y'\) 解得
\[x = \frac 1 {\kappa} \frac {p} {\sqrt {1 + p ^ 2}} + C_1 \]设 \(p = \tan \t\),则
\[x = \frac 1 {\kappa} \sin \t + C_1\\ y'_\t = y'_xx'_\t = \tan \t \frac {\cos \t} \kappa = \frac {\sin \t} \kappa\implies y = \frac {-\cos \t} \kappa + C_2 \]曲线为以 \((C_1, C_2)\) 为圆心,\(\frac 1 \kappa\) 为半径的一段圆弧。
例 \(2\)
狼追兔子问题。
解:列出微分方程
\[\frac {vt - y} {x} = \tan (\pi - \t(t)) = -y'_x \]即 \(vt - y = -xy'_x\)。两侧对 \(x\) 求导得
\[vt'_x - y'_x= -y'_x - xy''_{xx} \]因为狼的速度为 \(1\),所以
\[1 = -x'_t\sqrt {1 + y' ^ 2_x} \]而 \(t'_x = \frac 1 {x'_t}\),带入得
\[v\sqrt {1 + y' ^ 2_x} = xy''_{xx} \]最终解得 \(y = \cdots\)
根据 \(y(a) = 0\) 和 \(y'(a) = 0\) 确定任意常数。分成 \(v\geq 1\) 和 \(v < 1\) 讨论,\(v < 1\) 时需要检查弧长是否等于轨迹与 \(y\) 轴交点高度的 \(v\) 倍(狼能否吃到兔子)。
例 \(3\)
悬链线的方程。
解:列出微分方程 \((y - C)y'' = 1 + (y') ^ 2\)。这是不显含 \(x\) 的方程,记 \(p = y'\),则
\[p(y - C) \frac {\d p} {\d y} = 1 + p ^ 2 \]解得
\[\frac {\d y} {\d x} = p = \sqrt {A ^ 2(y - C) ^ 2 - 1} \]双曲换元 \(\cosh t = A(y - C)\),则
\[\frac {\d y} {\d x} = \sinh t,\quad \frac {\d y} {\d t} = \left(\frac {\cosh t} A + C\right)' = \frac 1 A\sinh t \]于是
\[\frac {\d t} {\d x} = A \implies t = Ax + B \]即
\[y = \frac {\cosh (Ax + B)} A + C \]
如何得到悬链线的微分方程?
变分法(最小势能原理)
悬链线使重力势能 \(E\) 最小。
\[E(y) = \int_0 ^ L g(y - C) \rho \d l = \int_a ^ b \rho g(y(x) - C) \sqrt {1 + y'(x) ^ 2} \d x \]\(E(y)\) 以函数为自变量,称为 泛函。不妨设 \(\rho g = 1\)。
对任何 \(h(a) = h(b) = 0\)(使得两端绳索固定)的可微函数 \(h\),\(f(\eps) = E(y + \eps h)\) 取最小值时 \(\eps = 0\),于是 \(f'(0) = 0\)。
利用小 \(o\) 记号写出 \(f'(0)\) 的表达式(其中用到了 \(\int_a ^ b f(x) o(\eps) \d x = o(\eps)\),然后利用分部积分将表达式写成 \(\int_a ^ b h(x) g(x) \d x\) 的形式,其中 \(g(x)\) 是关于 \(x, y, y'(x)\) 和 \(y''(x)\) 的函数。
由于 \(\int_a ^ b h(x) g(x) \d x = 0\) 且 \(h\) 是任意 \(h(a) = h(b) = 0\) 的 \(\scr C ^ 1\) 函数,且 \(g\) 是 \(\scr C ^ 1\) 函数,所以 \(g(x) = 0\)(\(\forall x\in [a, b]\)),得到关于 \(y\) 的微分方程。
受力分析法
对一小段曲线长度受力分析。
水平受力平衡,于是 \(\d (T\cos \t) = 0\),\(T\cos t = T_0\cos _0 = T_0\)。
竖直受力平衡,于是 \(\d (T\sin \t) = \rho g \d l\),即 \(\d (T_0\tan \t) = \rho g \d l\)。
因此有
\[T_0\d (y') = \rho g\sqrt {1 + (y') ^ 2} \d x \implies y'' = \frac {\rho g} {T_0} \sqrt {1 + (y') ^ 2} \]形式不太一样,但是解法和答案是一致的。
124 常微分方程(3)
内容:
- 高阶线性微分方程与一阶线性微分方程组;
- 叠加原理;
- 常数变易法;
- 初值问题解的唯一性;
- 齐次方程组解的线性相关性。
高阶线性微分方程与一阶线性微分方程组
高阶线性微分方程
\[y ^ {(n)} + a_{n - 1}(x) y ^ {(n - 1)}(x) + \cdots + a_1(x) y'(x) + a_0(x)y = f(x) \]转化为一阶线性微分方程组
\[\bpm y(x) \\ y'(x) \\ \vdots \\ y ^ {(n - 2)}(x) \\ y ^ {(n - 1)}(x) \epm' = \bpm 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0(x) & -a_1(x) & -a_2(x) & \cdots & -a_{n - 1}(x) \\ \epm \bpm y(x) \\ y'(x) \\ \vdots \\ y ^ {(n - 2)}(x) \\ y ^ {(n - 1)}(x) \epm + \bpm 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x) \epm \]叠加原理
非齐次线性方程组 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y + \mathbf f(x)\)。
齐次线性方程组 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y'\)。
\[\bc \mathbf y' = A(x)\mathbf y + \mathbf f(x) \\ \mathbf z' = A(x)\mathbf z + \mathbf g(x) \\ u(x) = \alpha \mathbf y(x) + \beta \mathbf z(x) \ec \implies \mathbf u' = A(x) \mathbf u + \alpha \mathbf f(x) + \beta \mathbf g(x) \]齐次线性方程组的解空间 \(V\) 是线性空间。
非齐次线性方程组的解空间 \(W\) 是仿射空间 \(V + \{\mathbf y_0\}\),其中 \(\mathbf y_0\) 是特解。
常数变易法
设 \(\mathbf y_{1,\cdots, n}\) 是 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y\) 的 \(n\) 个线性无关解,则
\[\mathbf U = \bpm \mathbf y_1(x), & \cdots, & \mathbf y_n(x) \epm \]可逆且满足 \(\mathbf U'(x) = A(x)\mathbf U(x)\)。
则 \(\mathbf y(x) = \mathbf U(x) \mathbf C(x)\) 满足 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y(x) + \mathbf f(x)\) 当且仅当 \(\mathbf C'(x) = \mathbf U ^ {-1}(x) \mathbf f(x)\)。
于是
\[\mathbf C(x) = \int_{x_0} ^ x \mathbf U ^ {-1}(t) \mathbf f(t) \d t + \mathbf C_0 \]即
\[\mathbf y(x) = \mathbf U(x) \int_{x_0} ^ x \mathbf U ^ {-1}(t) \mathbf f(t)\d t + \mathbf U(x) \mathbf C_0 \]初值问题解的唯一性
设 \(\mathbf y_1, \mathbf y_2\) 是 \(\mathbf y' = A(x)\mathbf y + \mathbf f(x)\) 的两个解,满足 \(\mathbf y_1(x_0) = \mathbf y_2(x_0)\),则 \(\mathbf y_1(x) = \mathbf y_2(x)\)。
因为 \(\mathbf y(x) = \mathbf y_1(x) - \mathbf y_2(x)\) 满足 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y\) 且 \(\mathbf y(x_0) = \mathbf 0\),于是 \(\mathbf C_0 = \mathbf U ^ {-1}(x_0) \mathbf y(x_0) = \mathbf 0\),从而 \(\mathbf y(x) = \mathbf U(x)\mathbf C_0 = \mathbf 0\)。
解的线性相关性 —— Liouville 定理
\[\left(\det \mathbf U(x)\right)' = \tr A(x) \cdot \det \mathbf U(x) \]对任何 \(x\),\(\mathbf y_{1, \cdots, n}(x)\) 线性无关当且仅当存在 \(x_0\) 使得 \(\mathbf y_{1, \cdots, n}(x_0)\) 线性无关。
- 行列式导数的求法:每行分别求导算行列式再相加(Leibniz 公式)。
根据 \({y ^ 1_k}' (x) = a ^ 1_1(x) y ^ 1_k(x) + \sum_{j \neq 1} a ^ 1_j(x)y ^ j_k(x)\),可知第 \(i\) 行求导得到的行列式是原来行列式的 \(a ^ i_i\) 倍。
解得
\[\det \mathbf U(x) = \det \mathbf U(x_0) \e ^ {\int_{x_0} ^ x \tr A(t)\d t} \]- 任意常数由 \(\det \mathbf U(x_0)\) 确定,且当 \(x = x_0\) 时后面一项等于 \(1\)。
称为 \(\mathbf y_{1, \cdots, n}\) 的 Wronsky 行列式。
于是只要取初始条件 \(\mathbf y(x_0)\) 为 \(\R_n\) 的基 \(\mathbf \e_{1, \cdots, n}\) 即可得到 \(n\) 个线性无关解,可为什么解一定存在?
解的存在性
设 \(A(x)\) 连续,则对任意 \(\mathbf y_0\),\(\mathbf y' = A(x) \mathbf y\) 存在解 \(\mathbf y(x)\) 满足 \(\mathbf y(x_0) = \mathbf y_0\)。
证明需要下学期的内容(级数)。
可知 齐次线性方程组 \(\mathbf y' = A(x) \mathbf y\) 存在 \(n\) 个线性无关解 \(\mathbf y_{1, \cdots, n}(x)\)。
- 常数变易法的作用之一(常数变易降阶):在已知一个非零解的基础上将 \(n\) 阶线性微分方程转化为 \(n - 1\) 阶线性微分方程,且方程的 \(n - 1\) 个线性无关的解均与该非零解线性无关。
根据以上理论基础,使用常数变易法求解非齐次方程
\[y'' + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x) \]改成方程组
\[\bpm y \\ y' \epm ' = \bpm 0 & 1 \\ -a_0(x) & -a_1(x) \epm \bpm y \\ y' \epm + \bpm 0 \\ f(x) \epm \]已知对应齐次方程的两个线性无关解 \(y_1(x), y_2(x)\),则 \(U(x) = \bpm y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \epm\) 是可逆矩阵。
使用常数变易法,设 \(\bpm y \\ y' \epm = U(x) \bpm C_1(x) \\ C_2(x) \epm\) 是非齐次方程的解,带入得
\[U(x)\bpm C_1'(x) \\ C_2'(x) \epm = \bpm 0 \\ f(x) \epm \]解得
\[\bpm C_1'(x) \\ C_2'(x) \epm = U ^ {-1}(x) \bpm 0 \\ f(x) \epm = \frac 1 {W(x)} \bpm y_2'(x) & -y_2(x) \\ -y_1'(x) & y_1(x) \epm \bpm 0 \\ f(x) \epm = \frac {f(x)} {W(x)} \bpm -y_2(x) \\ y_1(x) \epm \]于是
\[y(x) = (y_1(x), y_2(x)) \int_{x_0} ^ x \frac {f(t)} {W(t)} \bpm -y_2(t) \\ y_1(t) \epm \d t + C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \]使用常数变易法求解高阶线性微分方程形如
\[\bpm y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_{n - 1}(x) & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_{n - 1}'(x) & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ y_1 ^ {(n - 2)}(x) & y_2 ^ {(n - 2)}(x) & \cdots & y_{n - 1} ^ {(n - 2)}(x) & y_n ^ {(n - 2)}(x) \\ y_1 ^ {(n - 1)}(x) & y_2 ^ {(n - 1)}(x) & \cdots & y_{n - 1} ^ {(n - 1)}(x) & y_n ^ {(n - 1)}(x) \\ \epm \bpm C_1'(x) \\ C_2'(x) \\ \vdots \\ C_{n - 1}'(x) \\ C_n'(x) \epm = \bpm 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x) \epm \]只用最下面一行是不够的,因为只有一个约束条件但总共有 \(n\) 个函数。此时需要额外添加 \(n - 1\) 个约束条件,即前 \(n - 1\) 行。这是高阶方程转化为一阶方程组的自然约束。
标签:frac,la,微积分,bpm,epm,微分方程,mathbf From: https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/calculus-A1-WXF-ODE.html例 \(1\)
求解 \(y ^ {(3)} - 5y'' + 8y' - 4y = 0\)。
解:\(\e ^ {\la x}\) 是解当且仅当
\[0 = \e ^ {\la x}(\la ^ 3 - 5\la ^ 2 + 8\la - 4) = \e ^ {\la x} (\la - 1) (\la - 2) ^ 2 \]于是 \(\e ^ x\) 和 \(\e ^ {2x}\) 是(仅有的)指数函数解,它们线性无关:\(\det \bpm \e ^ x & \e ^ {2x} \\ \e ^ x & 2 \e ^ {2x} \epm = \e ^ {3x} > 0\)。
常数变易,设 \(y(x) = \e ^ x C(x)\),则 \(\e ^ x (C ^ {(3)} - 2C'' + C') = 0\),关于 \(u = C'\) 的二阶常系数线性微分方程。\(u = \e ^ x\) 是(仅有的)指数函数解。
常数变易,设 \(u(x) = \e ^ x v(x)\),则 \(\e ^ x v'' = 0\),解得 \(v(x) = C_1 + C_2x\)。
于是 \(C(x) = \e ^ x(C_2x - C_2 + C_1) + C_3\)。
因此
\[y(x) = A_1\e ^ {2x} + A_2x\e ^ {2x} + A_3 \e ^ x \]它们线性无关:设 \(y(x) = 0\),考虑到
\[\left(\frac \d {\d x} - 1\right) y(x) = A_1\e ^ {2x} + A_2(x + 1) \e ^ {2x} = 0 \]且
\[\left(\frac \d {\d x} - 2\right)\left(\frac \d {\d x} - 1\right) y(x) = A_2\e ^ {2x} = 0 \]于是 \(A_2 = 0\),推出 \(A_1 = 0\),再根据 \(y(x) = 0\) 推出 \(A_3 = 0\)。
- 想要去掉某一项就作用它满足的微分方程对应的微分算子。
线性代数做法:\(\lambda = 1\) 有特征向量 \(\mathbf u = \bpm 1 \\ 1 \\ 1 \epm\);\(\lambda = 2\) 有特征向量 \(\mathbf v = \bpm 1 \\ 2 \\ 4 \epm\),几何重数 \(1\) 小于代数重数 \(2\),需要广义特征向量。求解 \((A - 2I) \mathbf w = \mathbf v\) 得到广义特征向量 \(\mathbf w = \bpm 0 \\ 1 \\ 4 \epm\),它们是 \(\R ^ 3\) 的一组基,满足 \(A\mathbf u = \mathbf u\),\(A\mathbf v = 2\mathbf v\),\(A\mathbf w = 2\mathbf w + \mathbf v\),于是
\[u'(x) \mathbf u + v'(x) \mathbf v + w'(x) \mathbf w \\ = u(x) A\mathbf u + v(x) A \mathbf v + w(x) A \mathbf w \\ = u(x) \mathbf u + 2v(x) \mathbf v + w(x)(2\mathbf w + \mathbf v) \]得到微分方程组
\[\bc u' = u \\ w' = 2w \\ v' = 2v + w \ec \]这是容易求解的。