微积分 A1 要点整理

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期中考试前太鸽了就不补了，这里主要是期中考试之后的部分。

不定积分

不定积分的本质：找原函数。

称函数 \(F\) 为 \(f\) 的原函数，当且仅当对于 \(f\) 定义域中的所有 \(x\)，都有 \(F'(x)=f(x)\)。

记 \(\int f(x)\mathrm dx\) 为 \(f\) 所有原函数的集合，称作 \(f\) 的不定积分。

可以证明，如果 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数，那么 \(\int f(x)=F(x)+C\)，即两者只差一个常数。因为如果 \(G(x),F(x)\) 均为 \(f(x)\) 的原函数，那么 \(G'(x)=F'(x)\)，\((G-F)'(x)=0\)，因此 \(G(x)-F(x)\) 为常值函数。

常用函数的不定积分

这里列举几个容易忘记的：

\[\int\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\arcsin x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm dx=-\cot x+C \]

\[\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm dx=\tan x+C \]

\[\int\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\mathrm dx=\sec x+C \]

\[\int-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\mathrm dx=\csc x+C \]

不定积分的一些手段

1. 凑微分

   如果被积函数可以写成 \(g(h(x))·h'(x)\) 的形式，那么可以提一个 \(h'(x)\) 变成 \(\mathrm d(h(x))\)，这样换元 \(y=h(x)\) 这样就变成了 \(\int g(y)\mathrm dy\)。

2. 有理分式的积分

   对于有理分式 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)，不妨假设 \(Q(x)\) 最高次项系数为 \(1\)，那么可以将 \(Q(x)\) 分解为 \((x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_n)(x^2+b_1x+c_1)(x^2+b_2x+c_2)\cdots(x^2+b_mx+c_x)\) 的形式，这样 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) 可以表示为

   \[\dfrac{u_1}{x+a_1}+\dfrac{u_2}{x+a_2}+\cdots+\dfrac{u_n}{x+a_n}+\dfrac{v_1x+w_1}{x^2+b_1x+c_1}+\cdots+\dfrac{v_mx+w_m}{x^2+b_mx+c_m} \]

   使用待定系数法解出 \(u,v,w\)，这样根据

   \[\int\dfrac{1}{x+a}\mathrm dx=\ln(|x+a|)+C \]
   \[\int\dfrac{1}{(ax+b)^2+1}\mathrm dx=\dfrac{1}{a}\arctan(ax+b)+C \]

   将所有一次多项式变成 \(\ln\)，二次多项式变成 \(\arctan\) 即可。

3. 含三角函数的积分

   一种常见思路是 \(\cos x\) 变成 \(\mathrm d\sin x\)，\(\sin x\) 变成 \(-\mathrm d\cos x\)。

   还有一种思路是把 \(\cos^2x\) 变成 \(1-\sin^2x\)，或者 \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}\)，但是尽量不要把单个 \(\cos x\) 变成 \(\sqrt{1-\sin^2x}\)。

   对于 \(\cos x\) 和 \(\sin x\) 的多项式的积分，可以考虑万能公式：令 \(t=\tan(\dfrac{x}{2})\)，那么 \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)，这样

   \[\int f(\sin x,\cos x)\mathrm dx \]

   可以变形为

   \[\int f(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\mathrm d(2\arctan t) \]

   这个做法的好处是可以把含三角函数的积分全部转化为有理分式。

   特殊方法：

   \[\begin{aligned} &\int\tan^4x\mathrm dx\\ =&\int\tan^2x(\sec^2x-1)\mathrm dx\\ =&-\int\tan^2x\mathrm dx+\int\tan^2x\mathrm d\tan x\\ =&\dfrac{\tan^3x}{3}-\int(\sec^2x-1)\mathrm dx\\ =&\dfrac{\tan^3x}{3}-\tan x+x \end{aligned} \]

   其原理是 \(\tan^2x=\sec^2x-1\)，而 \(\sec^2x\) 刚好是 \(\tan x\) 的导数，方便凑微分

4. 含根式的积分

   对于根号底下是一次（如 \(\sqrt{x-1}\)）的根式，直接换元令 \(y=\sqrt{x-1}\)，这样 \(x=y^2+1\)。

   对于根号底下是二次（如 \(\sqrt{1-x^2}\)）的根式，采用三角换元：

   • \(\sqrt{1-x^2}\) 型，令 \(x=\cos\theta\)，这样 \(\sqrt{1-x^2}=\sin\theta\)。
   • \(\sqrt{1+x^2}\) 型，令 \(x=\tan\theta\)，这样 \(\sqrt{1+x^2}=\sec\theta\)。
   • \(\sqrt{x^2-1}\) 型，令 \(x=\sec\theta\)，这样 \(\sqrt{x^2-1}=\tan\theta\)。

   三角换元以后使用含三角函数的积分的思路去做就行了。

5. 分部积分

   \[\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx \]

   常见例子：

   • \(e^xP(x)\)：将 \(e^x\) 扔到 \(g\) 里去，这样 \(P(x)\) 的次数越积越少。
   • \(\cos^nx\)，将 \(\cos x\) 扔到 \(g\) 里去，这样 \(g(x)=\sin x\)，与 \(\cos^{n-1}x\) 里导出的一个 \(\sin x\) 变成 \(\sin^2x=1-\cos^2x\)，这样将 \(\int\cos^nx\) 看作未知数解方程可得递推关系。
   • \(x^n\ln x\)，将 \(x^n\) 扔到 \(g\) 里去，后面积分变成多项式的积分。

定积分

定积分的定义

定积分的应用

A. 计算封闭区域的面积

1. 计算由 \(y_1(x),y_2(x)(\forall x\in[\alpha,\beta],y_2(x)\ge y_1(x))\) 为上、下边界围成的区域面积：

   \[\int_{\alpha}^{\beta}(y_2(x)-y_1(x))\mathrm dx \]

2. 平面直角坐标系下由参数方程确定的简单闭曲线：\(\bold{x}:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^2\) 满足 \(\bold{x}(t)=(x(t),y(t))\)（简单闭曲线的定义：曲线首尾相连，曲线不自交且 \(\lVert\bold{x}'(t)\rVert\ne 0\)，其中 \(\bold{x}'(t)=(x'(t),y'(t))\)。不妨设曲线沿自然正向（左手边位于曲线封闭区域内），若是自然反向则需加负号。那么

\[S=-\int y\mathrm dx=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x'(t)\mathrm dt \]

\[S=\int x\mathrm dy=\int_{\alpha}^{\beta}x(t)y'(t)\mathrm dt \]

\[S=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\det\begin{bmatrix}x(t)&y(t)\\x'(t)&y'(t)\end{bmatrix} \]

3. 极坐标方程系下由参数方程确定的曲线 \(r=r(t),\theta=\theta(t),x=r\cos\theta,y=r\sin\theta(t\in[\alpha,\beta])\)：
   \[S=\dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2\mathrm d\theta=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r(t)^2\theta'(t)\mathrm dt \]
   计算依据：\(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta\)，且 \(\theta\) 足够小时 \(\theta\approx\sin\theta\)。

B. 计算弧长

1. \(n\) 维平面直角坐标系下由参数方程确定的曲线：\(\mathrm dl=\sqrt{\mathrm dx_1^2+\mathrm dx_2^2+\cdots+\mathrm dx_n^2}=\sqrt{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2+\cdots+x_n'(t)^2}\mathrm dt\)。据此可以积分得到

   \[L=\int_{\alpha}^{\beta}\lVert\bold{x}'(t)\rVert\mathrm dt \]

2. 在极坐标系下由参数方程确定的曲线：\(\mathrm dl=\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2}=\sqrt{r'(t)^2+r(t)^2\theta'(t)}\mathrm dt\)。

C. 计算曲率

曲率定义：曲率圆半径的倒数。

考虑 \(l(t)=\int_{\alpha}^t\lVert\bold{x}'(s)\rVert\mathrm ds\)，因为 \(l(t)\) 为增函数且连续，因此其存在反函数 \(t(l)\)。这样定义 \(\tilde{\bold{x}}(l)=\bold{x}(t(l))\)，那么有性质 \(\lVert\tilde{\bold{x}}'(l)\rVert=1\)，\(\tilde{\bold{x}}'(l)=\dfrac{\bold{x}'(t)}{\lVert\bold{x}'(t)\rVert}\)。这样曲率 \(\kappa=\tilde{\bold{x}}''(l)=\dfrac{\lVert\bold{x}'(t)\times\bold{x}''(t)\rVert}{\lVert\bold{x}'(t)\rVert^3}\)。

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