加法原理
有\(n\)类办法,\(a_i(1 \le i \le n)\)代表第\(i\)类方法的数目。那么共有\(S=a_1+a_2+\cdots+a_n\)种方法
乘法原理
分\(n\)个步骤,\(a_i(1 \le i \le n)\)代表第\(i\)个步骤的方法数目。那么共有\(S=a_1\times a_2 \times\cdots\times a_n\)种方法
排列数
从 \(n\) 个不同元素中，任取 $m $（ \(m\leq n\) ，\(m,n\) 均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) ( \(m\leq n\) ) 个元素的排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数
记作\(A_n^m\)
\[A_n^m=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]特殊的，对于\(A_n^n\)称作全排列
\[A_n^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1=n! \]组合数
从 \(n\) 个不同元素中，取 \(m \leq n\) 个元素组成一个集合称作从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m \leq n\) 个元素的所有组合的个数称作从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数
记作\(\dbinom{n}{m}\)或者\(C_m^n\)
\[C_m^n=\dbinom{n}{m}=\frac{A_m^n}{m!}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!} \]公式是这样推出来的
首先，排列数考虑顺序而组合数不考虑顺序
而我们可以很轻易的用全排列推出来\(A_m^m=m!\)
而这在组合数中只记作一种情况
那么就是说只要在\(A_m^n\)的基础上\(÷(m!)\)即可得到答案
排列数性质
\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{m-n}{m}\tag{1} \]\[\dbinom{n}{k} = \frac{n}{k} \dbinom{n-1}{k-1}\tag{2} \]\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1}\tag{3} \]\[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\cdots+\dbinom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}=2^n\tag{4} \]二项式定理
该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。
二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理
\[(a+b)^n=\dbinom{n}{0}\times x^n y^0+\dbinom{n}{1}\times x^{n-1} y^1+\cdots+\dbinom{n}{n-1}\times x^1 y^{n-1}=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\times a^{n-i}\times b^i \]矩阵形式(根据\(\mathrm{K8He}\)所说没啥用，\(\mathrm {stO}\ \mathrm {K8He}\ \mathrm {Orz}\))
\[(a+b)^n=[a^0\cdots a^n]\left[\begin{matrix} \binom{n}{0}&&\\&\cdots&\\&&\binom{n}{n}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} &&1\\&\cdots&\\1&&\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\\cdots\\1\\\end{matrix}\right]\] 标签：排列,dbinom,元素,笔记,times,学习,cdots,排列组合,matrix From： https://www.cnblogs.com/LuoTianYi66ccff/p/17854743.html