How Powerful are Spectral Graph Neural Networks?

Wang X. and Zhang M. How powerful are spectral graph neural networks? ICML, 2022.

概

分析谱图网络的表达能力.

\(\kappa(M) = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\), 矩阵 \(M\) 的条件数;
\(\mathbb{V} = \{1, 2, \ldots, n\}\), node set;
\(\mathbb{E} \subset \mathbb{V} \times \mathbb{V}\), edge set;
\(X \in \mathbb{R}^{n \times d}\), node feature matrix;
\(\mathcal{G} = (\mathbb{V}, \mathbb{E}, X)\), graph;
\(N(i)\) 结点 \(i\) 的一阶邻居;
\(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 邻接矩阵;
\(D\), degree matrix;
\(\hat{A} = D^{-1/2} A D^{-1/2}\), normalized adjacency matrix;
\(\hat{L} = I - \hat{A}\), normalized Laplacian matrix;
\(\hat{L} = U \Lambda U^T\), 特征分解.
\(\tilde{X} = U^T X\), 为信号 \(X\) 的 graph Fourier transform, 并有逆变换:
\[X = U \tilde{X}. \]

下面我们主要分析 linear GNN

\[\tag{2} Z = g(\hat{L}) XW \in \mathbb{R}^{d \times d'} \]
的能力. 其中 \(X\) 是固定的, \(W \in \mathbb{R}^{d \times d'}\) 是可学习的参数.
注意到,

\[\tag{3} Z = g(\hat{L}) XW = U g(\Lambda) \tilde{X} W. \]
Theorem 4.1: 对于任意一维信号 \(z \in \mathbb{R}^n\), 我们均可以通过 linear GNN (2) 逼近, 若 \(\hat{L}\) 不存在重复的特征值, 且 \(X\) 包含所有频段的信号 (即不存在 \(\tilde{X}\) 有一行均为 0).

proof:

我们要证明的是, 对于任意的一维信号 \(z \in \mathbb{R}^d\) 存在 \(w^* \in \mathbb{R}^d\) 和 \(g(\cdot)\) 使得

\[Ug^*(\Lambda)\tilde{X} w^* = z \\ \Leftrightarrow g^*(\Lambda)\tilde{X} w^* = U^Tz. \\ \]
\(g(\Lambda)\) 是个对角矩阵, 根据多项式的性质, 它有着极为强大的拟合能力, 以

\[g(\lambda) = \sum_{k=0}^{n-1} \theta_k \lambda^k \]
为例, 此时我们有:

\[\tag{4.1.1} g(\Lambda) = \text{diag}(B \Theta), \]
其中

\[B = [\lambda_i^{j-1}]_{ij}, \quad \Theta = [\theta_0, \ldots, \theta_{n-1}]. \]
容易发现, \(B \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 为范德蒙德矩阵, 当 \(\lambda_i \not= \lambda_j \forall i \not= j\) 成立的时候, \(B\) 可逆. 故

\[v = B\Theta, \quad \forall v, \exist \Theta. \]
现在我们把 (4.1.1) 拆解开来, 我们只需要证明:

\[v_i (\tilde{X}_i^T w^*) = z_i, \forall i, \]
即可, 倘若 \(\tilde{X}_i^T w^* \not=0 \quad \forall i\), 上面的证明就自然成立了. 对于任意 \(\tilde{X}\) 满足任一行均不全为 0, 我们都能找到这样的 \(w^*\). 令 \(V_i\) 为下列方程的解空间

\[ \tilde{X}_i w = 0. \]
容易发现 \(V_i\) 的维度为 \(n-1\). 只需取

\[w^* \in \mathbb{R}^n \setminus \cup_{i=1}^n V_i, \]
后者不为空集.

很遗憾的是, 这个结论不能推广到多维信号的逼近上. 严格来说, 倘若 \(X\) 不是满秩的, 则对于任意的 \(d' > 1\), 存在 \(d'\)- 维的信号 \(Z\) 不能通过 linear gnn 完全逼近.
故, 倘若想要拟合不同的信号, 最好的办法是应用多个独立的 filters.
此外, 对于条件: \(X\) 包含所有频段的信号, 可以这么理解:
- filter \(g(\cdot)\) 的作用实际上是对信号的缩放, 所以倘若 \(X\) 本身不包含那个频段的信息, 自然无法拟合对应频段的信号.
需要一提的是, 倘若我们添加激活函数 \(\sigma(X)\), 某种程度上是能够缓解频段缺失的问题的.

linear GNN 可以表述为如下的一般形式:

\[\tag{7} Z = \sum_{k=0}^K \alpha_{k} g_{k}(\hat{L}) X W \]
其中 \(g_k\) 代表多项式基.
这里我们考虑如下的几种:
- [Monomial]:
  
  \[g_k(\lambda) = \lambda^k. \]
- [Chebyshev]:
  
  \[g_0(\lambda) = 1, \\ g_1(\lambda) = \lambda, \\ g_{n+1} (\lambda) = 2 \lambda g_n(\lambda) - g_{n-1}(\lambda). \]
- [Bernstein]:
  
  \[g_k(\lambda) = g_{k,K}(\lambda) := \left ( \begin{array}{c} K \\ k \end{array} \right) \lambda^k (1 - \lambda)^{K-k}. \]
- [Jacobi]:
  
  \[g_0^{a,b}(\lambda) = 1, \\ g_1^{a,b}(\lambda) = \frac{a-b}{2} + \frac{a + b + 2}{2} \lambda, \\ g_k^{a,b}(\lambda) = (\theta_k \lambda + \theta_k') g_{k-1}^{a, b}(\lambda) - \theta_k'' g_{k-2}^{a,b}(\lambda), \]
  其中
  
  \[\theta_k = \frac{(2k + a + b) (2k + a + b - 1)}{2k (k + a + b)}, \\ \theta_k' = \frac{(2k + a + b - 1) (a^2 - b^2)}{2k (k + a + b) (2k + a + b - 2)}, \\ \theta_k'' = \frac{(k + a - 1) (k + b - 1) (2k + a + b)}{k (k + a + b) (2k + a +b - 2)}. \]
下面是作者给的一些例子:

一般来说, \(\alpha_k\) 随着 \(k\) 增加是逐渐减小的 (绝对值), 故而直接学习可能得不到想要的结果. 所以作者把它们重参数化为:

\[\alpha_k = \beta_k \prod_{i=1}^k \gamma_i, \]
其中 \(\gamma_i = \gamma' \tanh(\eta_i)\) 用来保证:

\[\gamma_i \in [-\gamma', \gamma']. \]
最终的公式可以改写为:

\[P_k^{a, b}(\hat{A}) \hat{X} = \gamma_k \theta_k \hat{A} P_{k-1}^{a, b} (\hat{A}) \hat{X} + \gamma_k \theta_k' P_{k-1}^{a, b}(\hat{A}) \hat{X} - \gamma_k \gamma_{k-1} \theta_k'' P_{k-2}^{a, b}(\hat{A}) \hat{X}. \]

标签：Spectral,mathbb,Neural,Graph,tilde,theta,hat,gamma,lambda
From： https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/17844803.html