神经网络的梯度下降

• 在这篇博客中，讲的是实现反向传播或者说梯度下降算法的方程组

单隐层神经网络会有\(W^{[1]}\)，\(b^{[1]}\)，\(W^{[2]}\)，\(b^{[2]}\)这些参数，还有个\(n_x\)表示输入特征的个数，\(n^{[1]}\)表示隐藏单元个数，\(n^{[2]}\)表示输出单元个数。

在这个例子中，只介绍过的这种情况，那么参数:

矩阵\(W^{[1]}\)的维度就是(\(n^{[1]}, n^{[0]}\))，\(b^{[1]}\)就是\(n^{[1]}\)维向量，可以写成\((n^{[1]}, 1)\)，就是一个的列向量。
矩阵\(W^{[2]}\)的维度就是(\(n^{[2]}, n^{[1]}\))，\(b^{[2]}\)的维度就是\((n^{[2]},1)\)维度。

还有一个神经网络的成本函数，假设在做二分类任务，那么的成本函数等于：

Cost function:

公式：

\(J(W^{[1]},b^{[1]},W^{[2]},b^{[2]}) = {\frac{1}{m}}\sum_{i=1}^mL(\hat{y}, y)\)

loss function和之前做logistic回归完全一样。

训练参数需要做梯度下降，在训练神经网络的时候，随机初始化参数很重要，而不是初始化成全零。当参数初始化成某些值后，每次梯度下降都会循环计算以下预测值：

\(\hat{y}^{(i)},(i=1,2,…,m)\)

公式1.28：

\(dW^{[1]} = \frac{dJ}{dW^{[1]}},db^{[1]} = \frac{dJ}{db^{[1]}}\)

公式1.29：

\({d}W^{[2]} = \frac{{dJ}}{dW^{[2]}},{d}b^{[2]} = \frac{dJ}{db^{[2]}}\)

其中

公式1.30：

\(W^{[1]}\implies{W^{[1]} - adW^{[1]}},b^{[1]}\implies{b^{[1]} -adb^{[1]}}\)

公式1.31：

\(W^{[2]}\implies{W^{[2]} - \alpha{\rm d}W^{[2]}},b^{[2]}\implies{b^{[2]} - \alpha{\rm d}b^{[2]}}\)

正向传播方程如下（之前讲过）：

forward propagation：

(1)
\(z^{[1]} = W^{[1]}x + b^{[1]}\)
(2)
\(a^{[1]} = \sigma(z^{[1]})\)
(3)
\(z^{[2]} = W^{[2]}a^{[1]} + b^{[2]}\)
(4)
\(a^{[2]} = g^{[2]}(z^{[z]}) = \sigma(z^{[2]})\)

反向传播方程如下:

back propagation：

公式1.32：

$ dz^{[2]} = A^{[2]} - Y , Y = \begin{bmatrix}y^{[1]} & y^{[2]} & \cdots & y^{[m]}\ \end{bmatrix} $

公式1.33：

$ dW^{[2]} = {\frac{1}{m}}dz^{[2]}A $

公式1.34：

$ {\rm d}b^{[2]} = {\frac{1}{m}}np.sum({d}z^{[2]},axis=1,keepdims=True)$

公式1.35：

$ dz^{[1]} = \underbrace{W^{[2]T}{\rm d}z^{[2]}}_{(n,m)}\quad\underbrace{{g^{[1]}}{'}}_{activation ; function ; of ; hidden ; layer}\quad\underbrace{(z^{[1]})}_{(n,m)} $

公式1.36：

\(dW^{[1]} = {\frac{1}{m}}dz^{[1]}x^{T}\)

公式1.37：

\({\underbrace{db^{[1]}}_{(n^{[1]},1)}} = {\frac{1}{m}}np.sum(dz^{[1]},axis=1,keepdims=True)\)

上述是反向传播的步骤，注：这些都是针对所有样本进行过向量化，\(Y\)是\(1×m\)的矩阵；这里np.sum是python的numpy命令，axis=1表示水平相加求和，keepdims是防止python输出那些古怪的秩数\((n,)\)，加上这个确保阵矩阵\(db^{[2]}\)这个向量输出的维度为\((n,1)\)这样标准的形式。

目前为止，计算的都和Logistic回归十分相似，但当开始计算反向传播时，需要计算，是隐藏层函数的导数，输出在使用sigmoid函数进行二元分类。这里是进行逐个元素乘积，因为\(W^{[2]T}dz^{[2]}\)和\((z^{[1]})\)这两个都为\((n^{[1]},m)\)矩阵；

还有一种防止python输出奇怪的秩数，需要显式地调用reshape把np.sum输出结果写成矩阵形式。

以上就是正向传播的4个方程和反向传播的6个方程，这里是直接给出的。