高等代数(I)好题

命题：

令 \(C=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\)

若 \(AB=BA\)，则：

证明：

考虑 \(CX=0\) 的基础解系 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_t\)，同时也是 \(AX=0\) 和 \(BX=0\) 的基础解系。

通过 \(\{\alpha_i\}\) 扩充得到 \(\beta_1,\cdots,\beta_{r(C)-r(A)}\)，满足 \(\{\alpha_i,\beta_j\}\) 是 \(A\) 的基础解系。

同样的，得到 \(\gamma_1,\cdots,\gamma_{r(C)-r(B)}\) 满足 \(\{\alpha_i,\gamma_k\}\) 是 \(A\) 的基础解系。

现在要证明 \(\{\alpha_i,\beta_j,\gamma_k\}\) 线性无关：

反证：不妨假设找到非 \(0\) 向量 \(b\) 和 \(c\) 满足： \(\sum_ia_i\alpha_i+\sum_jb_j\beta_j=\sum_kc_k\gamma_k=\mu\)。

由于 \(\mu \in <\alpha_i,\beta_j>\) 且 \(\mu \in <\alpha_i,\gamma_k>\)，那么 \(\mu\) 同时是 \(AX=0\) 与 \(BX=0\) 的解，即 \(\mu\) 是 \(\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}X=0\) 的解，且与 \(\alpha_i\) 线性无关，与 \(\alpha_i\) 是 \(\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}X=0\) 的基础解系矛盾。

又因为 \({\alpha_i,\beta_j,\gamma_k}\) 都是 \(ABX=BAX=0\) 的解。

\(n-r(AB)\ge r(C)-r(A)+r(C)-r(B)+n-r(C)\)

整理得到 \(r(A)+r(B)\ge r(C)+r(AB)\)。