蓝月の笔记——线性代数 \(.1\)
\(\mathfrak{The\ introduction\ of\ numbers\ as\ coordinates\ is\ an\ act\ of\ violence.}\)
引入一些数作为坐标是一种鲁莽的行为。
向量\((\text{Vector})\)
我们先来了解线性代数的本质——向量\((\text{vector})\)。
向量有三种表示方式
- 图像
- 符号
- 矩阵
在数学中，图像表示的向量，是一条平面直角坐标系上原点 \((0,0)\) 至给出点 \((x,y)\) 的一条有方向的线段，其中箭头指向 \((x,y)\)。
下面给出一个向量的三种表示方式。
\[\vec{v} \]
\[\begin{bmatrix} \ 5\ \\ \ 4\ \end{bmatrix} \]
他们都表示一个从 \((0,0)\) 指向 \((5,4)\) 的一个箭头。
另一种理解方式：\(\begin{bmatrix} \ x\ \\ \ y\ \end{bmatrix}\) 代表从原点向右走 \(x\) 个单位长度，向上走 \(y\) 个单位长度。
之后的学习中，我们会把这三种向量一起用，第一种用来画图表示，第二种用来书写，第三种用来计算。
向量的加法
接下来考虑向量的计算。（这一段配合视频中的动画更佳）
设向量 \(\vec{u}\) 和向量 \(\vec{v}\) 分别为：
\[\vec{u}=\begin{bmatrix} \ 1\ \\ \ 3\ \\ \end{bmatrix}\quad \vec{v}=\begin{bmatrix} \ 4\ \\ \ 2\ \\ \end{bmatrix} \]在图中表示为
定义 \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix} \ 1\ \\ \ 3\ \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \ 4\ \\ \ 2\ \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 1+4\ \\ \ 3+2\ \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 5\ \\ \ 5\ \\ \end{bmatrix}\)
在图中表示为
根据第二种向量的理解方式，\(\begin{bmatrix} \ x_1\ \\ \ y_1\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \ x_2\ \\ \ y_2\ \end{bmatrix}\) 也就是从原点右移 \(x_1\) 个单位，上移 \(y_1\) 个单位，右移 \(x_2\) 个单位，上移 \(y_2\) 个单位。组合起来，从原点开始右移 \(x_1+x_2\) 个单位，上移 \(y_1+y_2\) 个单位，就得到了 \(\begin{bmatrix} \ x_1+x_2\ \\ \ y_1+y_2\ \end{bmatrix}\)。
公式：\(\begin{bmatrix}\ x_1\ \\\ y_1\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\ x_2\ \\\ y_2\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ x_1+x_2\ \\\ y_1+y_2\ \end{bmatrix}\)。
向量的数乘
顾名思义，向量的数乘就是一个向量乘上一个数
举个例子 \(2 \times \begin{bmatrix}\ 3\ \\\ 4\ \end{bmatrix}\)，根据小学学的乘法，\(a \times b\) 就是 \(a\) 个 \(b\) 相加。
那么可以得到 \(2 \times \begin{bmatrix}\ 3\ \\\ 4\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ 3\ \\\ 4\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\ 3\ \\\ 4\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ 6\ \\\ 8\ \end{bmatrix}\)
还是根据向量的第二种定义来理解 \(a \times \begin{bmatrix}\ x\ \\\ y\ \end{bmatrix}\)：
- 最开始在原点
- 执行以下操作 \(a\) 次：
-
- 右移 \(x\) 个单位
-
- 上移 \(y\) 个单位
在上面的操作中，一共右移了 \(ax\) 单位，上移了 \(ay\) 个单位，即 \(\begin{bmatrix}\ ax\ \\\ ay\ \end{bmatrix}\)。
公式：\(a \times \begin{bmatrix}\ x\ \\\ y\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ ax\ \\\ ay\ \end{bmatrix}\)。
缩放\((\text{Scaling})\)
这不是一种运算。
易知，当 \(a \in \mathbb{R}\)，每一个 \(a \times \begin{bmatrix}\ x\ \\\ y\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ ax\ \\\ ay\ \end{bmatrix}\) 中的 \((ax,ay)\) 都在同一条直线上。
那么每一个 \(\begin{bmatrix}\ ax\ \\\ ay\ \end{bmatrix}\) 都可以看作 \(\begin{bmatrix}\ x\ \\\ y\ \end{bmatrix}\) 在方向不变的情况上关于长度的缩放。
(打不出 \(\infty\) 和 \(-\infty\)，只能用 \(999\cdots\) 和 \(-999\cdots\) 代替)
特别地，当 \(a < 0\) 时，这个缩放后的向量与原方向相反。
那么我们定义一个之后会广泛应用的名词：标量。
标量\((\text{Scalars})\)：用来缩放向量的常数。例如前文提到的的 \(a\)。
将向量 \(\vec{v}\) 缩放，标量为 \(a\)。结果为：
- 当 \(a>0\) 时，方向不变，长度为原长乘上 \(a\)；
- 当 \(a<0\) 时，方向相反，长度为原长乘上 \(a\)；
- 当 \(a=0\) 时，\(\vec{v}\) 汇成一个点，坐标为 \((0,0)\)。
三维向量
定义几乎和二维向量没什么区别，运算和二维向量一模一样。
定义
\[\vec{v} \]
\[\begin{bmatrix}\ 3\ \\\ 2\ \\\ 5\ \end{bmatrix} \]
都是一条 \((0,0,0)\) 指向 \((3,2,5)\) 的一个箭头。
计算：
加法：\(\begin{bmatrix}\ x_1\ \\\ y_1\ \\\ z_1\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\ x_2\ \\\ y_2\ \\\ z_2\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ x_1+x_2\ \\\ y_1+y_2\ \\\ z_1+z_2\ \end{bmatrix}\)
数乘：\(a \times \begin{bmatrix}\ x\ \\\ y\ \\\ z\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ ax\ \\\ ay\ \\\ az\ \end{bmatrix}\)。
缩放同理。
本章总结
二、三维向量的定义、加法、数乘。
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