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相似对角化
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什么样的矩阵能够相似对角化
A_n*n的特征向量能够构成一组基<=>A_n*n有n个无关的特征向量
- A_n*n有n个互不相同的特征值
- A_n*n的每个特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向量个数
实对称矩阵一定可以
特征向量组成了一组基 (P), λ_i 为第i个特征值对应的伸缩因子
- 相似对角化有什么意义
- 相似对角化后的对角矩阵
- 什么样的矩阵需要相似对角化
特征值和秩的关系
特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。
从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。应用到数据挖掘中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大。
函数值变化最快的方向，也就是曲面最陡峭的方向，归一化以后是[0.7071；0.7071]，嗯哼，这恰好是矩阵R的一个特征值，而且它对应的特征向量是最大的。因为这个问题是二阶的，只有两个特征向量，所以另一个特征向量方向就是曲面最平滑的方向。这一点在分析最优化算法收敛性能的时候需要用到。
每个数字都可以在实数域内取值（正、负、零），[公式]可以无限的延伸，联想到现在的大数据，还有什么东西不能由它表示？如果您相信万物皆数，这儿都可以说万物皆矩阵了，万物。
另外，这一堆数既可以表示数据记录，还可以表示某种不知名的抽象运算（物理上叫算子），这样的数学运算，对某些对象集，确仅仅以固有的方式伸缩，且不管它是数据记录还是抽象运算，全都一样！
惯性指数和秩的关系
实对称矩阵合同的充要条件是正负惯性指数相同。
正惯性指数,等于正特征值的个数 负惯性指数,等于负特征值的个数 正负惯性指数之和,等于非零特征值的个数,也即秩。
特征值和惯性指数的关系
提到惯性指数, 那么A是某个二次型的矩阵
线性代数一般讨论实二次型, 那么A是实对称矩阵矩阵
实对称矩阵总可正交相似对角化
即存在正交矩阵P,满足 P^-1AP = P^TAP = diag(a1,...,an)
-- 这里 a1,...,an 是A的特征值
对应的二次型的标准形即 a1y12+...+anyn2
所以A的正特征值的个数就是正惯性指数, 负特征值的个数就是负惯性指数
矩阵合同,相似,等价
同一个二次型在不同基下的矩阵互为合同矩阵
同一个线性变换在不同基下的矩阵互为相似矩阵
线性变换和二次型的矩阵，虽然都叫矩阵，但它们的性质是完全不同的
哪里不同呢?
线性变换是二次型化为标准型、规范性的工具
可通过正交变换or配方法 (二者都是可逆线性变换)化为标准型,
用正交变换法化二次型为标准型,具有几何形状不变的的优点
若不限于正交变换,则可用的可逆线性变换x=Py有很多, 常用的是"配方法", 但是用配方法得到标准型的平方项前的系数不一定是特征值
理清二次型，线性变换，合同，等之间的关系。_源梦想的博客-CSDN博客
标签：特征值,角化,特征向量,惯性,线代,矩阵,相似,心得 From： https://www.cnblogs.com/Knight02/p/17743719.html