线性代数
在高铁上听了听线性代数的课，概念有点多，怕忘了。
行列式
一些基础的东西
N(A):排列 \(A\) 的逆序数。
2阶行列式:\(A = \begin{vmatrix}a & b\\c &d\end{vmatrix} = ad-bc\)
3阶行列式:$A = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d &e & f \\ g & j & i\end{vmatrix} = aei+djc+bfg-ceg-bdi-fja $
n阶行列式:$A = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \ \end{vmatrix} = \sum_{j_1,j_2...j_n} -1^{N(j_1,j_2....j_n)} a_{1,j_1} a_{2,j_2}...a_{n,j_n} = \sum_{(i_1,i_2...i_n),(j_1,j_2...j_n)} -1^{N(i_1,i_2...i_n)+N(j_1,j_2....j_n)} a_{i_1,j_1} a_{i_2,j_2}...a_{i_n,j_n} $
下三角行列式:\(A = \begin{vmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 & ... & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{n,n}\end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{i \leq n} a_{i,i}\)
行列式的性质
转置: 对于一个行列式 \(D\) 的 \(\forall i,j\)，交换\(a_{i,j},a_{j,i}\)，转置后称为 \(D^T\)。
ps: 对行成立的性质对列也成立。
性质1:\(D=D^T\)
性质2: 交换两行，变号。
性质3: 两行相同，\(D=0\)。
性质4: 对于 \(D\) 的某一行的数都乘 \(k\)，等于 \(k \times D\) 。
性质5: 两行所有数对应成比例，\(D=0\)。
推论: 一行全为 \(0\)，则 \(D=0\) 。
性质6:\(D = \begin{vmatrix}a_{1,1}+k_{1,1} & a_{1,2}+k_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+k_{1,n} \\
a_{21} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{21} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}+k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,n} \\
a_{21} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}\)
性质7: 将 \(D\) 的某一行乘上 \(k\)，加到另一行上，值不变。
行列式的计算
计算: 根据性质7将行列式消元成上三角矩阵，然后直接乘起来。
余子式: 选择一行一列消去，剩下的拼在一起所形成的行列式成称为选择一行一列的交点的余子式，用 \(M_{i,j}\) 表示。
eg:
代数余子式: \(A_{i,j} = -1^{i+j} M_{i,j}\)
计算-按行展开: 选定任意一行 \(i\)，\(D = \sum_{j = 1}^{j \leq n} a_{i,j}A_{i,j}\)
定理(异乘变零): 选定一行 \(i_1\)，对于另一行 \(i_2\) 满足 \(\sum_{j=1}^{j \leq n} a_{i_1,j}A_{i_2,j} = 0\)
k阶子式: 选 \(k\) 行，\(k\) 列，交点拼一起所形成的行列式。
拉普拉斯展开定理: 取定 \(k\) 行。由这 \(k\) 所形成的所有 \(k\) 阶子式与其代数余子式乘积之和 \(=D\) 。
行列式相乘: \(A \times B = C,c_{i,j} = \sum_{k=1}^{k \leq n} a_{i,k}b_{k,j}\)
加边法则: 不能改变行列式的值。
范德蒙德行列式: \(D = \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n}^2\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ x_{1}^n & x_{2}^n & \cdots & x_{n}^n \\ \end{vmatrix} = \prod_{j < i}x_i-x_j\)
反对称行列式: 主对角线都为 \(0\)，\(\forall a_{i,j} = -a_{j,i}\)。
结论: 奇数阶反对成行列式值为 \(0\) 。
对称行列式: 主对角线元素无要求，\(\forall a_{i,j} = a_{j,i}\)。