泰勒公式
引入
我们知道，当\(x \to 0\)时，有
\[\sin{x}\thicksim x \]\[e^x \thicksim x+1 \]然而，当\(\left\lvert x \right\rvert\)较大时，这些近似公式就变得不准确.
所以，我们就想要构造一个更精确的多项函数来近似表示一些函数.
我们假设一个函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)能近似表达为这样一个多项式
并且满足当\(x \to x_0\)时\(P_n(x)\)与\(f(x)\)之差仅为比\((x-x_0)^n\)高阶的无穷小.
假设\(P_n(x)\)在\(x_0\)处的\(n\)阶导数都依次等于\(f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}{(x_0)}\)，即满足
将这个系数代入\(P_n(x)\),可以得到
\[P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n \]泰勒公式一
若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\(n\)阶导数，那么\(\exists \text{ } U(x_0)\)，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0) $，有
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]\[=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]其中
\[R_n(x)=o((x-x_0)^n) \]证明：
记\(R_n(x)=f(x)-P_n(x)\)，则
\[R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R_n''(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}{(x_0)}=0 \]因为\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(n\)阶导数，所以\(f(x)\)必在\(x_0\)某邻域中\((n-1)\)阶可导，\(R_n(x)\)也在该邻域内\((n-1)\)阶可导，反复运用洛必达法则，得到
\[\begin{aligned} & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}\\ = & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}\\ = & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n''(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}}\\ = & \cdots \\ = & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}{(x)}}{n!(x-x_0)}\\ = & \frac{1}{n!} \lim_{x \to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}{(x)}-R_n^{(n-1)}{(x_0)}}{x-x_0} \\ = & \frac{1}{n!} R^{(n)}{(x_0)}=0 \end{aligned} \]\[\mathbf{Q} .\mathbf{E} .\mathbf{D} \]在此公式中，\(R_n(x)\)被称为佩亚诺余项，虽然它是\(o((x-x_0)^n)\)，但它不能具体估计误差大小。下面的公式就解决了这个问题.
泰勒公式二
若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\((n+1)\)阶导数，那么\(\exists \text{ } U(x_0)\)，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0) $，有
\[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]其中
\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]且\(\xi\)是在\(x_0\)和\(x\)之间的一个数.
证明该公式需要用到两个的定理.
两个引证
引证1:
若函数\(f(x)\)满足:
(1)在\([a,b]\)上连续;
(2)在\((a,b)\)上可导;
(3)\(f(a)=f(b)\)
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)使得\(f'(\xi)=0\)
这定理可由费马引理得出，这里不证.
引证2:
若函数\(f(x)\),\(F(x)\)满足:
(1)在\([a,b]\)上连续;
(2)在\((a,b)\)上可导
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)使等式
成立
证明：
构造辅助函数
\[\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x) \]注意到
\[\varphi(a)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)} \]\[\varphi(b)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)} \]\[\therefore \varphi(a)=\varphi(b) \]所以\(\varphi(x)\)符合罗尔定理的条件，所以必有一点\(\xi \in (a,b)\)，使得等式
\[\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0 \]成立.
即
泰勒公式二的证明
回到泰勒公式二的证明，我们有
\[R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R_n''(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}{(x_0)}=0 \]对函数\(R_n(x)\)和函数\((x-x_0)^{n+1}\)使用柯西中值定理(它们显然符合柯西中值定理的条件).
\[\frac{R_n{x}}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R_n'(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}\text{($\xi_1$在$x_0$与$x$之间)} \]同理可得
\[\frac{R_n'(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}=\frac{R_n(\xi_2)}{(n+1)n(\xi_2-x_0)^{n-1}}\text{($\xi_2$在$x_0$与$\xi_1$之间)} \]一直像这样进行下去，直到
\[\frac{R_n{x}}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}\text{($\xi$在$x_0$与$x$之间)} \]\[\because P_n^{(n+1)}(x)=0 \]\[\therefore R_n^{(n+1)}{(\xi)}=f^{(n+1)}{(\xi)} \]\[\therefore R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{($\xi$在$x_0$与$x$之间)} \]\[\mathbf{Q} .\mathbf{E} .\mathbf{D} \] 标签：泰勒,xi,frac,公式,varphi,证明,cdots,text,mathbf From： https://www.cnblogs.com/mdntct/p/17478421.html