定义
\[F(\omega)=F(f(t))=\int_{}^{}f(t)*e^{-j\omega t}dt \]常用信号的傅里叶变换对
- \(F(A*cos(\omega_0 t))=\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\)
- \(F(A*sin(\omega_0 t))=-j\pi A[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\)
- \(F(A*cos(\omega_0 t))= \frac{A}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]\)
- \(F(A*sin(\omega_0 t))=-j \frac{A}{2}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]\)
狄拉克δ函数
- 关于狄拉克δ函数
狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。
狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。 - 理解狄拉克δ函数
这是一个抽象的函数，只有在0处有一个脉冲，其他地方都是0，可以用来表示理想频谱图中的频点，所以这里要引入这个概念。 - 性质
欧拉公式
\[cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}) \]\[sin(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}) \]证明cos的傅里叶变换
令
\[f(t)=Acos(\omega_0t) \]根据欧拉公式得到：
\[f(t)=\frac{A}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}) \]根据傅里叶变换的定义，对f(t)做傅里叶变换：
\[F(f(t))=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)*e^{-j\omega t}dt \]\[=\int_{-\infty}^{\infty}*\frac{A}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})*e^{-j\omega t}dt \]\[=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})*e^{-j\omega t}dt \]\[=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}*e^{-j\omega t}+e^{-j\omega_0t}*e^{-j\omega t})dt \]\[=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}*e^{-j\omega t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j\omega_0t}*e^{-j\omega t})dt] \]\[=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j(\omega-\omega_0)t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j(\omega+\omega_0)t}dt)] \]根据狄拉克函数：
\[=\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \]也可以用频率代替角频率：
\[F(f(t))=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f-f_0)t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f+f_0)t}dt)] \]\[=\frac{A}{2}*\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f-f_0)t}d2\pi t)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f+f_0)t}d2\pi t)] \]\[=\frac{A}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)] \]- 说明这也是为什么对于时域信号做傅里叶变换，得到的频谱图有两个频谱
- 注意横坐标为\(\omega\)和f时，频谱幅值不一样。