拓展思维的一题多解题

标签：思维 cfrac beta 解题 复数 theta 一题 pi gamma

前言

在新人教 A 版看到这个经典的题目 ^[1]，联想到以前的相应解法，现对各种思路作以总结，体会下：我们积累的数学知识越多，解题的思路就越开阔，越顺畅。

典例剖析

如图所示，已知平面内并列的三个相同大小的正方形，求证： \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

【法1】：平面几何法；下移，旋转，对称

【法2】：相似三角形法；

【法3】：三角函数法；

解证：显然 \(\alpha=\cfrac{\pi}{4}\) ， 故只需要求出 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，借助三角函数知识可知，

\(\tan\beta=\cfrac{1}{2}\)，\(\tan\gamma=\cfrac{1}{3}\)，则由两角和的正切公式可知，

\(\tan(\beta+\gamma)\)\(=\)\(\cfrac{\tan\beta+\tan\beta}{1-\tan\beta\cdot\tan\gamma}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}}{1-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{3}}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{5}{6}}{\cfrac{5}{6}}\)\(=1\)，

由题目可知，\(\beta\)，\(\gamma\) 都是锐角，故 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，

即可知 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

【法4】：复数法；

复数乘法的几何意义复习回顾

复数乘法的几何意义：两个复数 \(z_1\) ，\(z_2\) 相乘时，可以如下图所示，先分别画出与 \(z_1\) ，\(z_2\) 对应的向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\)， \(\overrightarrow{OZ_2}\)，然后把向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 绕点 \(O\) 按逆时针方向旋转角 \(\theta_2\)(如果 \(\theta_2<0\)，就要把向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 绕点 \(O\) 按顺时针方向旋转角 \(|\theta_2|\) )，再把它的模变为原来的 \(r_2\) 倍，得到向量 \(\overrightarrow{OZ}\)， \(\overrightarrow{OZ}\) 表示的复数就是积 \(z_1\cdot z_2\)，这就是复数乘法的几何意义。

借助复数的代数形式以及对应的三角形式来解释，\(z_1\)\(=\)\(a_1+b_1i\)\(=\)\(r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)，\(z_2\)\(=\)\(a_2+b_2i\)\(=\)\(r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)，则

\[z=z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] \]

简单来说，复数乘法有两个作用，其一放大或缩小的作用，体现在 \(r_1\cdot r_2\)；其二旋转的作用，体现在 \(\theta_1+\theta_2\)。

解证：建立如图所示的复平面，可知 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) 分别等于复数 \(1+i\) ， \(2+i\) ， \(3+i\) 的辐角，故 \(\alpha+\beta+\gamma\) 的和取决于三个复数的乘积的辐角。由于

\[(1+i)(2+i)=2-1+3i=1+3i \]

\[(1+3i)(3+i)=3-3+10i=10i \]

即 \((1+i)(2+i)(3+i)=10i\)，而复数 \(10i\) 的辐角就是 \(\cfrac{\pi}{2}\)，故 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

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1. 【案例题目】如图所示，已知平面内并列的三个相同大小的正方形，求证：\(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).
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