丘老师的精彩讲解： 有限性代数的不可约左模（十六）_哔哩哔哩_bilibili 有限性代数的不可约左模（十七）_哔哩哔哩_bilibili
这个内容主要看丘维声的《群表示论》2.2节，主定理的讨论是2.2.2(P54-55)
需要注意的是：本文涉及的很多定义、定理由于篇幅原因没有声明，具体可以看丘维声的《群表示论》的一、二两章
以下是我的整理：
左正则代数模的不可约直和分解的主定理是：
设$A$是域$\mathbb{K}$上的有限维半单代数，则左正则$A-$模$A$可以分解成有限多个不可约子模的直和：
$A=L_1 \oplus L_2 \oplus \dots \oplus L_s$，$A$上单位元$1=e_1+e_2+\dots+e_s(e_i \in L_i,i=1,2,\dots,s)$（$1$直和分解），其中$e_1,e_2,\dots,e_s$为$A$中两两正交的幂等元，$V_i=Ae_i(i=1,2,\dots,s)$。且任一个不可约左$A-$模同构于$\{L_1,L_2,\dots,L_n\}$中的某一个，从而每一个不可约左$A-$模都是有限维的。
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对此，先引入关于环几个基本概念与定理：
定义1（幂等元）：设环$R$为有单位元$(1 \neq 0)$的环，如果$e \in R,e\neq 0$，且$e^2 \neq e$，则称$e$为幂等元；
定义2（幂等元正交）：如果环$R$中幂等元$e_1,e_2$，使得$e_1e_2=e_2e_1=0$，则称$e_1,e_2$正交；
定义3（本原幂等元）：如果环$R$中幂等元$e$不能表示为两个正交幂等元之和，则称$e$为本原幂等元。
定理1（环的左理想直和分解）：设$A$是有单位元$(1\neq 0)$的环，如果$A=V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_s$($V_i$为$A$的左理想)；设$1=e_1+e_2+\dots+e_s(e_i \in V_i,i=1,2,\dots,s)$（$1$的直和分解），则$e_1,e_2,\dots,e_s$为$A$中两两正交的幂等元，且$V_i=Ae_i(i=1,2,\dots,s)$。反之，如果$e_1,e_2,\dots,e_s$为$A$中两两正交的幂等元，记$e=e_1+e_2+\dots+e_s$，则$Ae=Ae_1 \oplus Ae_2 \oplus \dots \oplus Ae_s$
定义4（不可分解模）：环$A$的左理想$I$如果可以写成$A$的两个非零左理想的直和，则称$I$是可分解的；否则为不可分解。
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如果$A$是一个代数，那么$A$也是一个环，则上述定义与定理对于代数$A$上的模来说也是成立的。
一般情况下，我们只讨论完全可约的模：
定义5（半单）：设$A$是域$\mathbb{K}$上的有限维代数，如果任何一个左$A-$模都是完全可约的，则称$A$是半单的。
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下面是本文主定理的讨论：
于是，设$A$是域$\mathbb{K}$上的有限维半单代数，则左正则$A-$模$A$是完全可约的。则有$A$的某个不可约分解:$$A=L_1 \oplus L_2 \oplus \dots \oplus L_s, $$，其中$L_i为不可约子模(i=1,2,\dots,s)$，设：$$1=e_1+e_2+\dots+e_s$$，为$1$的直和分解，其中$e_i \in L_i (i=1,2,\dots,s)$.
根据定理1，$e_1,e_2,\dots,e_s$为$A$中两两正交的幂等元，且$L_i=Ae_i(i=1,2,\dots,s)$，进一步地由于是不可约分解的原因，易知$e_i$是本原的$(i=1,2,\dots,s)$.于是$$Ae=Ae_1 \oplus Ae_2 \oplus \dots \oplus Ae_s$$
下面我们要思考的是这个不可约分解唯一吗？是否还有$A$的另一个不可约左模$M$，与上述不可约直和分解式中的不可约模不一样？即若任取一个$A$的一个不可约左模$M$，是否存在$j \in \{1,2,\dots,s\}$,是的$M\cong Ae_j?$
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任取一个$A$的一个不可约左模$M$，$\forall x \in M,且 x \neq 0$，则易证$Ae_ix$是$M$的一个子模$(i = 1,2,\dots,s )$，考虑$$f_i:Ae_i \longrightarrow Ae_ix$$ $$\qquad ae_i\longrightarrow ae_ix$$显然$f_i$为满射且为模同态$(i=1,2,\dots,s)$
由于$Ae_ix$为不可约模，而$Kerf_i$为$Ae_ix$的子模，所以$Kerf_i=\{0\}$或$Kerf_i=Ae_i$.
如果$\forall i$，都是$Kerf_i=Ae_i$，则$Imf_i=\{0\}$，又因为是满射，所以$Ae_ix=Imf_i=\{0\}(i=1,2,\dots,s)$，则$$x=1x=(e_1+\dots+e_n)x=e_1x+\dots+e_nx=0$$
这与$x \neq 0$矛盾，所以一定有$j \in \{1,2,\dots,s\}$，使得$Kerf_j=\{0\}$，因此$f_j$为单射，进一步是双射，所以$Ae_j$到$Ae_jx$之间的$f_j$为模同构，所以$$Ae_j \cong Ae_jx$$而$M$不可约，且由于$Ae_jx = Imf_j \neq \{0\}$，所以$M$的子模$Ae_ix=M$，于是$Ae_j \cong M$
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综上，结合定理1得到：
定理2：设$A$是域$\mathbb{K}$上的有限维半单代数，则左正则$A-$模$A$可以分解成有限多个不可约子模的直和：
$A=L_1 \oplus L_2 \oplus \dots \oplus L_s$，$A$上单位元$1=e_1+e_2+\dots+e_s(e_i \in L_i,i=1,2,\dots,s)$（$1$直和分解），其中$e_1,e_2,\dots,e_s$为$A$中两两正交的幂等元，$V_i=Ae_i(i=1,2,\dots,s)$。且任一个不可约左$A-$模同构于$\{L_1,L_2,\dots,L_n\}$中的某一个，从而每一个不可约左$A-$模都是有限维的。
该定理表明：有限维半单代数$A$的每一个不可约左模都出现在左正则$A-$模$A$的不可约子模的直和分解式（同构意义下）
根据有限群$G$在域$\mathbb{K}$上的正则表示$(\rho,\mathbb{K}[G])$与左正则$\mathbb{K}[G]-$模$\mathbb{K}[G]$的关系得：
当$Char \mathbb{K} \nmid \vert G \vert $，则$\mathbb{K}[G]$为半单代数。则$G$的任一个不可约$\mathbb{K}-$表示等价于$G$的正则表示$\rho$的直和分解式中的某一个不可约子表示，从而有限群的任一个不可约$\mathbb{K}-$表示都是有限维的。
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我们上述的讨论实际山只需要左正则$\mathbb{K}[G]-$模$\mathbb{K}[G]$是完全可约的即可，而丘老师在该节(2.2)最后提到一个定理如下：
定理3：设$A$是域$\mathbb{K}$上的有限维代数，则$A$是半单的当且仅当左正则$\mathbb{K}[G]-$模$\mathbb{K}[G]$是完全可约的。
标签：dots,mathbb,Ae,不可,正则,分解,oplus,代数 From： https://www.cnblogs.com/wjma2719/p/17069260.html