目录
- 前言
- 往期文章
- 5.7 正定二次型
- 定理9：惯性定理
- 定义10
- 定理10
- 推论
- 定理11：赫尔维茨定理
- 举例
- 例17
- 结语
前言
Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
5.7 正定二次型
二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）
定理9：惯性定理
设有二次型，它的秩为
，有两个可逆变换
使
和
则中正数的个数与
中正数的个数相等
二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性系数
若二次型的正惯性系数指数为
，秩为
，则
的规范形可确定为
定义10
设有二次型
- 如果对任何
，都有
，则称
为正定二次型，并称对称阵A是正定的
- 如果对任何
，则称
是负定的
定理10
元二次型
为正定的充分必要条件是：它的标准型的
个系数全为正，即它的规范形的
个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于
推论
对称阵为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正
定理11：赫尔维茨定理
对称阵为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
对称正为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
举例
例17
判定二次型的正定性
解答：
二次型的矩阵
为
一阶主子式
二阶主子式
三阶主子式
发现一阶、三阶都为负，二阶为正
根据定理11：赫尔维茨定理，得到
是负定二次型
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
