【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（25）：线性变换

目录

• ​​前言​​
• ​​往期文章​​
• ​​6.4 线性变换​​

• ​​定义4​​
• ​​定义5：线性变换​​
• ​​举例​​

• ​​例10​​

• ​​结语​​

前言

Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
 
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！

6.4 线性变换

定义4

设有两个非空集合，如果对于中任一元素，按照一定的规则，总有中一个确定的元素和它对应

那么，这个规则称为从集合到集合的映射，将上述映射记作，并记

设，意思就是映射把元素变为

• 称为在映射下的像
• 称为在映射下的源
• 称为映射的源集
• 像的全体所构成的集合称为像集，记作，即，其中有

定义5：线性变换

设分别是维和维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射满足

（1）任给，有

（2）任给,有

那么就称为从到的线性映射（或线性变换）

线性变换具有的一些性质：

（1）

（2）若，则

（3）若线性相关，则也线性相关

注意：若线性无关，则
不一定线性无关
 
举个例子：若变换结果都是零向量，那么就算，那么最后都为零元素，也就不线性相关了

（4）线性变换的像集是一个线性空间，称为线性变换的像空间

证明：

设

则有

证加法运算封闭性：

证数乘运算封闭性：

设

则有

八条运算也符合，这里不再进行细说

综上，线性变换的像集是一个线性空间

（5）使的的全体也是一个线性空间，称为线性变换的核

证明：

证加法运算封闭性：

设，有

那么

故

证数乘运算封闭性：

设，有

所以

综上，是一个线性空间

举例

例10

设有阶矩阵

其中

定义中的变换为

试说明为线性变换

注意：为维矩阵

注意是证明为线性变换，那么需要证明：

证明

设，则

所以为线性变换

补充

那么，有

也就是说：

• 线性变换的像空间其实就是由所生产的向量空间
• 的核就是齐次线性方程组的解空间

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭