文章目录
- 前言
- 1.5 行列式的性质
- 转置行列式
- 性质1
- 内容
- 证明
- 性质2
- 内容
- 证明
- 性质3
- 内容
- 证明
- 性质4
- 内容
- 证明
- 性质5
- 内容
- 证明
- 性质6
- 内容
- 证明
- 结语
前言
Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
1.5 行列式的性质
转置行列式
n阶行列式D：
令，得到
行列式称为行列式
的转置行列式
性质1
内容
行列式与它的转置行列式相等
证明
设，
为
的转置行列式
再设
又因为 我们知道
所以有：
推出=
=
(利用
)
又因为
所以
证明完成！
性质2
内容
互换行列式的两行（列），行列式变号
证明
设n阶行列式D
交换第i、j行
得
我们设
当时，有
当时，有
、
简单的说
- 当
，也就是不属于交换的那两行，b与a就是完全的对应关系；
- 当
时，就是交换的那两行，b与a行之间的就是相反的，列是一样的
与
对比 发现只交换了行坐标
从1…i…j…n 变成了 1…j…i…n
很明显，和全排列中交换任意两个元素一样，奇偶性会改变
也就是逆序数+1或-1
其实就是在行列式这里就是相当于奇偶性发生一次变化，就是乘了一个-1
所以
证明完成！
性质3
内容
行列式中的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
证明
设行列式
假设第i行所有元素同时乘以k，有
化简
证明完成！
同理，列的情形也是一样的
性质4
内容
行列式中如果有两行（列）元素成比列，则此行列式等于0
证明
设行列式
其中第i行元素与第j行元素成比例，也就是
因为
所以
如果此时对换第i行与第j行
行列式依然不会发生变化
因为对换后，D还是原来的值
（对换后 其实和原来一样）
但是因为任意两行互换后，一定会发生变号，变为-D
综上，有
得到
证明完成！
性质5
内容
若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和
则
证明
证明完成！
性质6
内容
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变
证明
设行列式
对第j行乘以k，再加到第i行，得到
由性质5得
由性质4得
所以
证明完成！
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
