4.3 常用的统计分布
上侧分位数
分位数是一个分界点。
上侧分位数与分布函数\(F\)以及水平\(\alpha\)有关，常记为\(F_\alpha\).
含义：
在\(y=F(x)\)的图像中，使得直线\(x=F_\alpha\)右侧区域积分面积等于\(\alpha\)的\(F_\alpha\)就是上侧分位数。
常见表述：\(P\{X>F_\alpha\}=\alpha\)
也就是找出使得右侧面积等于\(\alpha\)的分界点\(F_\alpha\)，计算非常复杂，一般都是通过查表得到\(F_\alpha\).
\(\chi ^2\)分布
如果\(X_1,\cdots,X_n\)独立，且\(X_i\sim N(0,1)\)，那么\(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\)服从\(\chi^2\)分布，记作\(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2(n)\). 其中\(n\)称为自由度。
- \(EX=n\)
- \(DX=2n\)
如果\(X\sim \chi^2(n)\)，当\(n\)充分大时，\(\frac{X-n}{\sqrt{2n}}\)近似服从\(N(0,1)\)，即标准正态分布。
可加性
如果\(X\sim \chi^2(m),Y\sim\chi^2(n)\)，\(X,Y\)独立，则\(X+Y\sim\chi^2(m+n)\).
推论
如果\(X_i\sim\chi^2(m_i)\)且独立，其中\(1\le i\le n\)，则\(\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim\chi^2(\sum\limits_{i=1}^nm_i)\).
t分布
\(X\sim t(n)\)
- 当\(n\)很小，\(t\)分布与正态分布区别很大。
- 当\(n\ge30\)时，\(t\)分布与正态分布的区别不大。
定义
如果\(X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n)\)且\(X,Y\)独立，则\(\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)\).
\(t\)分布关于\(y\)轴对称，因此其上侧分位数有性质：
\[t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n) \]F分布
\(X\sim F(n_1,n_2)\)
定义
如果\(X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2)\)且\(X,Y\)独立，则\(\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)\).
推论
如果\(X\sim F(n_1,n_2)\)，那么\(\frac{1}{X}\sim F(n_2,n_1)\).
上侧分位数有性质：
\[F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)} \]标签：frac,4.3,chi,数理统计,分布,位数,alpha,概率论,sim From： https://www.cnblogs.com/feixianxing/p/common-statistical-distribution.html使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社