第四章 数理统计的基础知识

4.1 总体与样本

总体与总体分布

概念

• 总体：在某种共性基础上由许多个别事物结合起来的整体。
• 个体：指构成统计总体的个别事物的总称。
• 总体的容量：总体中个体的个数。
• 有限总体：容量有限的总体。
• 无限总体：容量无限的总体。

每一个个体代表一次试验的观察值，不同个体可以有相同的观察值。

在统计学中，称\(X\)为总体，把\(X\)的分布称为总体的分布。

• 表示总体的\(X\)可以是随机变量或随机向量。
• 个体的定性指标可以转化为数量指标，从而设定一个随机变量来表示研究的总体。
• 总体分布就是设定的\(X\)的分布，一般是未知的。统计学的主要任务就是对总体的未知分布进行推断。

样本与样本分布

概念

• 样本：通过一定方法从总体中取出若干个体组成的子集。

• 简单随机样本：\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，其中\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布，且与总体\(X\)同分布。

• 简单随机抽样：使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。

• 样本值：样本的一组具体的观察值。

• 样本空间：全体样本值组成的集合。

• 样本分布：

  设总体\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，则样本\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)的分布函数为

  \[F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nF(x_i), \]

  称之为样本分布。

  • 若\(X\)为连续型随机变量，密度函数为\(f(x)\)，则样本的密度函数为：
  \[f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nf(x_i). \]
  • 若\(X\)为离散型随机变量，概率分布为\(p(x)=P\{X=x\}\)，\(x\)取遍\(X\)所有可能取值，则样本的概率分布为：
    \[p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=\prod\limits_{i=1}^np(x_i). \]

统计推断问题简述

通过样本的特征选择适合的分布（模型），并由此对总体分布中所含的未知参数作出统计推断。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社