第二章 随机变量的分布与数字特征
2.1 随机变量及其分布
随机变量的概念
定义
定义在概念空间\((\Omega,P)\)上，取值为实数的函数\(X=X(\omega)(\omega\in \Omega)\)称为\((\Omega,P)\)上的一个随机变量.
理解
随机变量的作用在于将样本的文字描述转换为实数，是一个具体到抽象的过程。
举例：
投掷一枚硬币，记正面朝上次数为随机变量\(X\)，则\(X\)作为样本空间\(\Omega=\{正面，反面\}\)上的函数定义为
\[X(\omega)=\left\{ \begin{align*} & 1,\quad \omega=正面,\hfill \\ & 0,\quad \omega=反面.\hfill \end{align*}\right. \]记号
随机变量常见的记号有：\(X,Y,Z,\xi,\eta\)
\(\{\omega|X(\omega)=a\}\)：表示满足某一特征的样本组成的事件，简记为\(\{X=a\}\).
事件的概率记为\(P\{X=a\}\)，也可以记为\(P(X=a)\).
离散型随机变量的概率分布
定义
如果\(X\)的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称\(X\)是一个离散型随机变量。
设\(X\)的全部可能取值为\(\{x_i,i=1,2,\cdots\}\)，记
\[p(x_i)=P\{X=x_i\},\quad i=1,2,\cdots \]则称\(\{p(x_i),i=1,2,\cdots\}\)为\(X\)的概率分布。\(p(x_i)\)也可以简记为\(p_i\)。
概率分布可以用表格的形式表示，称为概率分布表:
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_i\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_i\) | \(\cdots\) |
性质
- \(p(x_i)\ge 0, \ i=1,2,\cdots\)；
- \(\sum\limits_ip(x_i)=1\)
分布函数
定义
设\(X\)是随机变量，则称函数
\[F(x)=P\{X\le x \},\quad x\in(-\infty,+\infty) \]为随机变量\(X\)的分布函数，记作\(X\sim F(x)\).
性质
- 单调性：若\(x_1<x_2\)，则\(F(x_1)<F(x_2)\)；
- \(F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1\)；
- 右连续性：\(F(x+0)=F(x)\).
离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数\(F(x)\)是阶梯函数，跳跃点为\(X\)的每一个取值，跳跃高度为\(X\)在相应点处的概率。
连续型随机变量及其概率密度函数
连续型随机变量
定义
连续型随机变量是指如果随机变量\(X\)的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点的随机变量。
概率密度函数
定义
如果存在一个非负可积的函数\(f(x)\)，使得\(X\)的分布函数
\[F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^xf(t)dt \]则称\(f(x)\)为\(X\)的概率密度函数，简称密度函数.
性质
- \(f(x)\ge0,\quad x\in(-\infty,+\infty)\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)
计算
通过密度函数的积分可以求\(X\)的取值落于任意区间上的概率：
\[P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)dx \]对于任意实数\(x\)，有：
\[P\{X=x\}=0 \]在\(f(x)\)的连续点处，有：
\[F'(x)=f(x) \]这个等式联系了分布函数和密度函数。
均匀分布
如果\(X\)在区间\([a,b]\)上的密度为常数\(\frac{1}{b-a}\)，而在区间外的密度为\(0\)，则称这样的随机变量在区间\([a,b]\)上服从均匀分布，表示\(X\)取\([a,b]\)上每一点是等可能的。
标签：infty,函数,omega,cdots,笔记,数理统计,quad,概率论,随机变量 From： https://www.cnblogs.com/feixianxing/p/random-variable-and-distribution.html使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社