高等代数笔记【3】 行列式按一行(列)展开

行列式展开定理

定义3.1 对于行列式

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \]

它的 \((i,j)\) 余子式指这个行列式去掉第 \(i\) 行与第 \(j\) 列得到的行列式，记作 $M_{ij} $ .它的 $(i,j) $ 代数余子式则为

\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

有了代数余子式的概念，我们就可以将行列式按行展开。

定理3.1(行列式展开定理)

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik} \quad (1\le i\le n) \]

对列也是一样的。

证明：先证明如下式子

\[|A| =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\cdots&1& \end{vmatrix} = A_{nn} \]

由定义得

\[|A|=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \]

当且仅当 \(j_n=n\) 时 \(a_nj_n\ne 0\) ，即

\[|A|=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_{n-1}} (-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_{n-1})}a_{1j_1} a_{2j_2}\cdots a_{n-1j_{n-1}} =A_{nn} \]

由行列式的性质可以推得

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}&\cdots&a_{1n}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{2k}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nk}&\cdots&0 \end{vmatrix} =a_{nk}A_{nk} \]

再进一步，便可得到定理的证明。 \(\Box\)

运用这个定理，我们可以得到一个有关代数余子式的重要结论

定理3.2 对于一个 \(n\) 阶行列式 \(|A|\)

\[\sum_{i=1}^n a_{ik}A_{ij} = \begin{cases} |A|& {j=k}\\ 0& j\ne k \end{cases} \]

对列也是一样的。

证明：\(j=k\) 时的情况即为行列式展开定理。当 \(j\ne k\) 时

\[\sum_{i=1}^n a_{ik}A_{ij}= \begin{vmatrix} \cdots&a_{1k}&\cdots&a_{1k}&\cdots\\ \cdots&a_{2k}&\cdots&a_{2k}&\cdots\\ &\vdots&&\vdots\\ \cdots&a_{nk}&\cdots&a_{nk}&\cdots \end{vmatrix} =0\qquad\Box \]

运用展开定理，也可以求解一些特殊的行列式

定理3.3(范德蒙德行列式)

\[\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ a_{1}&a_2&a_3&\cdots &a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots &a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le j\le i\le n}(a_i-a_j) \]

证明：对 \(n\) 作归纳。当 \(n=2\) 时

\[\begin{vmatrix} 1&1\\ a_{1}&a_{2} \end{vmatrix} = a_2-a_1 \]

假设 \(n=k-1\) 时成立。当 \(n=k\) 时

\[\begin{align} \nonumber &\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ a_{1}&a_2&a_3&\cdots &a_k\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots &a_k^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{k-1}&a_2^{k-1}&a_3^{k-1}&\cdots&a_k^{k-1} \end{vmatrix}\\ \nonumber =&\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&a_2-a_1&a_3-a_1&\cdots &a_k-a_1\\ 0&a_2(a_2-a_1)&a_3(a_3-a_1)&\cdots &a_k(a_k-a_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_2^{k-2}(a_2-a_1)&a_3^{k-2}(a_3-a_1)&\cdots&a_k^{k-2}(a_k-a_1) \end{vmatrix}\\ \nonumber=& \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ a_2&a_3&a_4&\cdots&a_k\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_2^{k-2}&a_3^{k-2}&a_4^{k-2}&\cdots&a_k^{k-2} \end{vmatrix} \prod_{k=2}^n(a_k-1)\\ \nonumber =&\prod_{2\le j\le i\le k}(a_i-a_j)\prod_{k=2}^n(a_k-1)\\ \nonumber =& \prod_{1\le j\le i\le n}(a_i-a_j) \qquad\Box \end{align} \]

克拉默法则

克拉默法则是有关求解线性方程组的定理

定义3.2 关于 \(x_1,x_2,x_3\cdots,x_n\) 的线性方程组是指

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \qquad\qquad\cdots\ \cdots\ \cdots\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} \]

克莱默法则针对的是线性方程组的一种特殊情况，即 \(m=n\) 的线性方程组。

定理3.4(克拉默法则) 若线性方程组的未知量个数与方程个数相等，且系数行列式

\[d=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \ne0 \]

则线性方程组的唯一解为

\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},x_3=\frac{d_3}{d},\cdots ,x_n=\frac{d_n}{d} \]

其中 \(d_i\) 为系数行列式 \(d\) 将第 \(i\) 列换为 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) .

证明：我们分两步来证明这个定理。首先我们将解代入方程，证明 \(\frac{d_i}{d}\) 确实是方程组的解，然后我们再解线性方程组，证明这组解的唯一性。先将 \(\frac{d_i}{d}\) 代入，得

\[\sum_{i=1}^na_{ki}\frac{d_i}{d} =\frac{1}{d}\sum_{i=1}^na_{ki}d_i \]

由行列式展开定理，得

\[d_i=\sum_{j=1}^nb_{j}A_{ji} \]

代入得

\[\begin{align}\nonumber \frac{1}{d}\sum_{i=1}^na_{ki}d_i& =\frac{1}{d}\sum_{i=1}^na_{ki}\sum_{j=1}^nb_{ji}A_{ji}\\\nonumber &=\frac{1}{d}\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n(a_{ki}A_{ji})b_{j} \end{align} \]

当且仅当 \(j\ne k\) 时，\(\sum_{i=1}^n(a_{ki}A_{ji})= 0\) ,所以

\[\begin{align}\nonumber \frac{1}{d}\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n(a_{ki}A_{ji})b_{j} &=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^n(a_{ki}A_{ki})b_{k}\\ \nonumber &=\frac{1}{d}\cdot db_k\\\nonumber &=b_k \end{align} \]

得到 \(\frac{d_i}{d}\) 确实是方程的根。

然后来求解方程。将方程写为累加的形式

\[\begin{align} \nonumber\sum_{i=1}^{n}a_{ki}x_i&=b_k\\ \nonumber A_{kj}\sum_{i=1}^{n}a_{ki}x_i&=b_kA_{kj}\\ \nonumber \sum_{k=1}^nA_{kj}\sum_{i=1}^{n}a_{ki}x_i&=\sum_{k=1}^n b_kA_{kj}\\ \nonumber\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n(a_{ki}A_{kj})x_i&=\sum_{k=1}^n b_kA_{jk}\\ \end{align} \]

当 \(i\ne j\) 时 \(\sum_{k=1}^n(a_{ki}A_{kj})=0\) ，故

\[\sum_{k=1}^n(a_{kj}A_{kj})x_j=\sum_{k=1}^n b_kA_{jk} \]

由行列式展开定理得

\[\qquad\ \ x_j=\frac{d_j}{d} \qquad \]

这样就证明了这样的解是唯一的。 \(\Box\)