数学分析笔记【3】数集的扩充(2)

有理数集

上一篇中，我们已经构造了整数集 \(\mathbb{Z}\) .现在，我们令 \(\hat{\rm{Q}}=\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})\) .现在，我们定义 \(\hat{\rm{Q}}\) 上的相等关系。

下面我们要证明 \(\hat{\rm{Q}}\) 上的相等确实是等价关系。

命题3.1 \(\hat{\rm{Q}}\) 上的相等是等价关系。

证明：首先证明自反性，由

\[ab = ba \]

得到

\[(a,b)=(a,b) \]

接着证明传递性，若

\[(a,b)=(c,d),(c,d)=(e,f) \]

得到

\[\begin{align} ad&=bc\\ cf&=de \end{align} \]

将 \((1),(2)\) 相乘，得到

\[\begin{align} \nonumber adcf&=bcde\\ \nonumber af&=be\\ \nonumber (a,b)&=(e,f) \end{align} \]

这样就证明了传递性。最后证明自反性，若 \((a,b)=(c,d)\) ，得

\[\begin{align}\nonumber ad&=bc\\\nonumber cb&=da\\\nonumber (c,d)&=(a,b)\end{align} \]

这样就完成了证明。 \(\Box\)

接下来，我们定义 \(\hat{\rm Q}\) 上的运算

定义3.1

\[\begin{align} \nonumber (a,b)+(c,d)&=(ad+bc,bd)\\ \nonumber (a,b)\times (c,d)&=(ac,bd) \end{align} \]

当然，我们要证明运算是良定义的

证明：设 \((a,b)=(a^{\prime},b^{\prime}),(c,d)=(c^{\prime},d^{\prime})\) ，即

\[\begin{align} ab^{\prime}&=ba^{\prime}\\ cd^{\prime}&=dc^{\prime} \end{align} \]

于是有

\[\begin{align} \nonumber add^{\prime}+bcd^{\prime}&=add^{\prime}+bc^{\prime}d\\ \nonumber (ad+bc)d^{\prime}&=d(ad^{\prime}+bc^{\prime })\\ \nonumber (ad+bc)bd^{\prime }&=bd^{\prime }(ad^{\prime}+bc^{\prime })\\ \nonumber (a,b)+(c,d)&=(a,b)+(c^{\prime },d^{\prime }) \end{align} \]

同理可以得到 \((a,b)+(c,d)=(a^{\prime},b^{\prime})+(c,d)\) ，由传递性可以得到加法运算是良定义的。由 \((3),(4)\) 相乘，又可以得到

\[\begin{align} \nonumber acb^{\prime}d^{\prime}&=bda^{\prime}c^{\prime}\\ \nonumber (ac,bd)&=(a^{\prime }c^{\prime },b^{\prime }d^{\prime }) \end{align} \]

这样就完成了证明。 \(\Box\)

现在我们可以再规定 \(\hat{\rm Q}\) 关于 \(\mathbb{Z}\) 的乘方运算

定义3.2 设 \((a,b)\in\hat{\rm Q},n\in\mathbb{Z}\) ，若 \(n\ge 0\) ，那么

\[(a,b)^n=(a^n,b^n) \]

当 \(n=-1\) 时

\[(a,b)^{(-1)}=(b,a) \]

当 \(n<-1\) 时

\[(a,b)^{(n)}=(b,a)^{(-n)} \]

现在我们可以定义有理数集 \(\mathbb{Q}\)

定义3.3

\[\mathbb{Q}=\{[x]|x\in \hat{\rm Q}\} \]

其中 \([x]\) 指 \(x\) 关于 \(\hat{\rm Q}\) 上相等关系的等价类。

我们将 \((n,1)\) 记为 \(n\) ,\((a,b)\) 记为 \(\frac{a}{b}\) .

需要注意到的是我们可以认为 \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z},\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\) ，这是因为我们可以取集合中一个子集使其等价。现在我们可以定义 \(\mathbb{Q}\) 上的运算

定义3.4

\[\begin{align} \nonumber [x]+[y]&=[x+y]\\ \nonumber [x]-[y]&=[x+(-1,1)\times y]\\ \nonumber [x]\times [y]&=[x\times y]\\ \nonumber [x]/[y]&=[x]\times[y]^{(-1)}\\ \nonumber [x]^n&=[x^n] \end{align} \]